Trabalho Realizado pela Força Gravitacional

A redução da energia cinética indica que o caixote foi freado.

 

 

7-3 TRABALHO REALIZADO PELA FORÇA

GRAVITACIONAL

 

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

7.07 Calcular o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando um objeto é levantado ou abaixado.

7.08 Aplicar o teorema do trabalho e energia cinética a situações nas quais um objeto é levantado ou

abaixado.

 

Ideias-Chave

• O trabalho W realizado pela força gravitacional sobre um objeto de massa m que se comporta como g g uma partícula quando o objeto sofre um deslocamento é dado por

 

W = mgd cos ϕ, g

 

em que ϕ é o ângulo entre e . g

• O trabalho W realizado por uma força aplicada quando um objeto que se comporta como uma partícula a

é levantado ou abaixado está relacionado com o trabalho W realizado pela força gravitacional e à g variação ΔK da energia cinética do objeto por meio da equação

 

ΔK = K – K = W + W . f i a g

 

Se K = K , a equação se reduz a f i

 

W = –W ag

 

ou seja, a energia transferida para o objeto pela força aplicada é igual à energia retirada do objeto pela força gravitacional.

 

Trabalho Realizado pela Força Gravitacional Vamos examinar agora o trabalho realizado sobre um objeto pela força

gravitacional. A Fig. 7-6 mostra um tomate de massa m que se comporta como

partícula, arremessado para cima com velocidade inicial v e, portanto, com 0 uma energia cinética inicial Na subida, o tomate é desacelerado por

uma força gravitacional , ou seja, a energia cinética do tomate diminui porque

g realiza trabalho sobre o tomate durante a subida. Uma vez que o tomate

pode ser tratado como uma partícula, podemos usar a Eq. 7-7 (W = Fd cos ϕ) para expressar o trabalho realizado durante um deslocamento . No lugar de F,

usamos mg, o módulo de . Assim, o trabalho W realizado pela força g g

gravitacional é g

 

Durante a subida, a força tem o sentido contrário ao do deslocamento , g

como mostra a Fig. 7-6. Assim, ϕ = 180° e

 

O sinal negativo indica que, durante a subida, a força gravitacional remove uma energia mgd da energia cinética do objeto. Isso está de acordo com o fato de que o objeto perde velocidade na subida.

Depois que o objeto atinge a altura máxima e começa a descer, o ângulo ϕ

entre a força e o deslocamento é zero. Assim, g

 

O sinal positivo significa que agora a força gravitacional transfere uma energia mgd para a energia cinética do objeto. Isso está de acordo com o fato de que o objeto ganha velocidade na descida.

Figura 7-6 Por causa da força gravitacional , a velocidade de um tomate, de massa m, arremessado g

para cima diminui de para durante um deslocamento . Um medidor de energia cinética indica a 0

variação resultante da energia cinética do tomate, de 2 para K = mv.

f

 

Trabalho Realizado para Levantar e Abaixar um

Objeto

Suponha agora que levantamos um objeto que se comporta como uma partícula aplicando ao objeto uma força vertical . Durante o deslocamento para cima, a

força aplicada realiza um trabalho positivo W sobre o objeto, enquanto a força a

gravitacional realiza um trabalho negativo W . A força aplicada tende a g transferir energia para o objeto, enquanto a força gravitacional tende a remover

energia do objeto. De acordo com a Eq. 7-10, a variação ΔK da energia cinética do objeto devido a essas duas transferências de energia é

 

em que K é a energia cinética no fim do deslocamento e K é a energia cinética f i

no início do deslocamento. A Eq. 7-15 também é válida para a descida do objeto, mas, nesse caso, a força gravitacional tende a transferir energia para o objeto, enquanto a força aplicada tende a remover energia do objeto.

Em muitos casos, o objeto está em repouso antes e depois do levantamento.

Isso acontece, por exemplo, quando levantamos um livro do chão e o

colocamos em uma estante. Nesse caso, K e K são nulas, e a Eq. 7-15 se reduz f i a

 

Note que obtemos o mesmo resultado se K e K forem iguais, mesmo que não f i sejam nulas. De qualquer forma, o resultado significa que o trabalho realizado pela força aplicada é o negativo do trabalho realizado pela força gravitacional, ou seja, que a força aplicada transfere para o objeto a mesma quantidade de

energia que a força gravitacional remove do objeto. Usando a Eq. 7-12,

podemos escrever a Eq. 7-16 na forma

Figura 7-7 (a) Uma força faz um objeto subir. O deslocamento do objeto faz um ângulo ϕ = 180°

com a força gravitacional . A força aplicada realiza um trabalho positivo sobre o objeto. (b) A força g

é insuficiente para fazer o objeto subir. O deslocamento do objeto faz um ângulo ϕ = 0° com a força

gravitacional . A força aplicada realiza um trabalho negativo sobre o objeto. g

 

em que ϕ é o ângulo entre e . Se o deslocamento é verticalmente para cima g

(Fig. 7-7a), ϕ = 180° e o trabalho realizado pela força aplicada é igual a mgd.

Se o deslocamento é verticalmente para baixo (Fig. 7-7b), ϕ = 0° e o trabalho realizado pela força aplicada é igual a –mgd.

As Eqs. 7-16 e 7-17 se aplicam a qualquer situação em que um objeto é

levantado ou abaixado, com o objeto em repouso antes e depois do deslocamento. Elas são independentes do módulo da força usada. Assim, por exemplo, se você levanta acima da cabeça uma caneca que estava no chão, a força que você exerce sobre a caneca varia consideravelmente durante o levantamento. Mesmo assim, como a caneca está em repouso antes e depois do

levantamento, o trabalho que sua força realiza sobre a caneca é dado pelas Eqs.

7-16 e 7-17, em que, na Eq. 7-17, mg é o peso da caneca e d é a diferença entre a altura inicial e a altura final.

 

Exemplo 7.04 Trabalho realizado para

puxar um trenó em uma encosta nevada

Neste exemplo, um objeto é puxado em uma rampa, mas o objeto está em repouso nos instantes inicial e final e, portanto, sua energia cinética não varia (o que é uma informação importante). A situação é

mostrada na Fig. 7-8a. Uma corda puxa para cima um trenó de 200 kg (que você deve ter reconhecido) em uma encosta com um ângulo θ = 30o, por uma distância d = 20 m. A massa total do trenó e da carga é 200 kg. A encosta nevada é tão escorregadia que o atrito entre o trenó e a encosta pode ser desprezado. Qual é o trabalho realizado pelas forças que agem sobre o trenó?

 

IDEIAS-CHAVE

(1) Como, durante o movimento, as forças são constantes em módulo

e orientação, podemos calcular o trabalho realizado usando a Eq. 7-7 (W = Fd cos ϕ), em que ϕ é o ângulo entre a força e o deslocamento.

Chegamos ao mesmo resultado usando a Eq. 7-8 (W = · ), em que calculamos o produto escalar do vetor força pelo vetor deslocamento. (2) Podemos relacionar o trabalho realizado pelas forças à variação de energia cinética (ou, neste caso, à falta de variação) usando o

teorema do trabalho e energia cinética da Eq. 7-10 (ΔK = W).

 

Cálculos: A primeira coisa a fazer na maioria dos problemas de física que envolvem forças é desenhar um diagrama de corpo livre para organizar as ideias. No caso do trenó, o diagrama de corpo livre é o

da Fig. 7-8b, que mostra a força gravitacional , a força de tração g

exercida pela corda e a força normal exercida pela encosta. N

 

Trabalho W da força normal. Vamos começar com um cálculo N

fácil. A força normal é perpendicular à encosta e, portanto, ao deslocamento do trenó. Assim, o trabalho realizado pela força normal

é zero. Se quisermos ser mais formais, podemos usar a Eq. 7-7 para escrever

 

Trabalho W da força gravitacional. Podemos calcular o trabalho g

realizado pela força gravitacional de duas formas (a escolha fica por conta do leitor). De acordo com nossa discussão anterior a respeito

das rampas (Exemplo 5.04 e Fig. 5-15), o módulo da componente do campo gravitacional paralela à rampa é mg sen θ. Assim, temos:

 

F = mg sen θ = (200 kg)(9,8 m/s2) sen 30° gx

= 980 N.

 

Como o ângulo ϕ entre o deslocamento e essa componente da força é

180o, a Eq. 7-7 nos dá

 

O resultado negativo significa que o campo gravitacional remove energia do trenó.

A segunda forma de obter esse resultado é usar toda a força

gravitacional em vez de usar apenas uma componente. Como o g

ângulo entre e é 120o (30o + 90o), a Eq. 7-7 nos dá g

Trabalho W da força de tração da corda. Podemos calcular esse T

trabalho de duas formas. A mais simples é usar o teorema do trabalho

e energia da Eq. 7-10 (ΔK = W), em que ΔK = 0 porque a energia

cinética final é igual à energia cinética inicial (zero) e W = W + W + N g

W é o trabalho total realizado pelas forças. Assim, a Eq. 7-10 nos dá T

 

Figura 7-8 (a) Um trenó é puxado por uma corda em uma rampa nevada. (b) Diagrama de corpo livre do trenó.

 

Em vez disso, podemos aplicar a segunda lei de Newton ao

movimento ao longo de um eixo x paralelo à rampa para calcular o

módulo F da força de tração da corda. Supondo que a aceleração na T

direção do eixo x é zero (exceto por breves períodos de tempo, quando o trenó inicia e termina a subida), podemos escrever

 

F = ma , res x x

F – mg sen 30° = m(0), T

 

o que nos dá F = mg sen 30° T

Como a força de tração da corda e o deslocamento do trenó têm a mesma direção e o mesmo sentido, o ângulo entre os dois vetores é

zero. Logo, de acordo com a Eq. 7-7, temos:

 

Exemplo 7.05 Trabalho realizado sobre um

elevador acelerado

Um elevador, de massa m = 500 kg, está descendo com velocidade vi = 4,0 m/s quando o cabo de sustentação começa a patinar, permitindo

que o elevador caia com aceleração constante = /5 (Fig. 7-9a).

(a) Se o elevador cai de uma altura d = 12 m, qual é o trabalho Wg

realizado sobre o elevador pela força gravitacional ? g

 

IDEIA-CHAVE

Podemos tratar o elevador como uma partícula e, portanto, usar a Eq.

7-12 (W = mgd cos ϕ) para calcular o trabalho W . g g

 

Cálculo: De acordo com a Fig. 7-9b, o ângulo entre e o g

deslocamento do elevador é 0°. Assim, de acordo com a Eq. 7-12,

 

(b) Qual é o trabalho W realizado sobre o elevador pela força do T cabo durante a queda?

 

IDEIA-CHAVE

Podemos calcular o trabalho W usando a Eq. 7-7 (W = Fd cos ϕ) e T escrevendo a segunda lei de Newton para as componentes das forças

em relação ao eixo y da Fig. 7-9b (F = ma ). res,y y

 

Cálculos: A segunda lei de Newton nos dá

Explicitando T, substituindo F por mg e substituindo o resultado na g

 

Eq. 7-7, obtemos

 

Em seguida, substituindo a aceleração a (para baixo) por –g/5 e o ângulo ϕ entre as forças e m por 180°, obtemos

 

Atenção: Note que W não é simplesmente o negativo de W . A razão T g disso é que, como o elevador acelera durante a queda, a velocidade varia e, consequentemente, a energia cinética também varia. Assim, a

Eq. 7-16 (que envolve a suposição de que a energia cinética é igual no início e no final do processo) não se aplica nesse caso.