Momento Angular de um Corpo Rígido Girando em Torno de um Eixo Fixo

igual à taxa de variação com o tempo do momento angular total do sistema.

A Eq. 11-29 é análoga à Eq. 9-27 ( = d /dt), mas requer um cuidado adicional: res

Os torques e o momento angular do sistema devem ser medidos em relação à mesma origem. Se o centro de massa do sistema não está acelerado em relação a um referencial inercial, essa origem pode ser qualquer ponto. Caso, porém, o centro de massa do sistema esteja acelerado, a origem deve ser o centro de massa. Considere, por exemplo, uma roda como o sistema de partículas. Se a roda está girando em torno

de um eixo fixo em relação ao solo, a origem usada para aplicar a Eq. 11-29 pode ser qualquer ponto estacionário em relação ao solo. Entretanto, se a roda estiver girando em torno de um eixo acelerado (como acontece, por exemplo, quando a roda está descendo uma rampa), a origem deve ser o centro de massa da roda.

Momento Angular de um Corpo Rígido Girando em

Torno de um Eixo Fixo

Vamos agora calcular o momento angular de um corpo rígido que gira em torno de um

eixo fixo. A Fig. 11-15a mostra um corpo desse tipo. O eixo fixo de rotação é o eixo z, e o corpo gira em torno do eixo com uma velocidade angular constante ω. Estamos interessados em calcular o momento angular do corpo em relação a esse eixo.

Podemos calcular o momento angular somando as componentes z do momento

angular de todos os elementos de massa do corpo. Na Fig. 11-15a, um elemento de massa típico, de massa Δm , está se movendo em torno do eixo z em uma trajetória i

circular. A posição do elemento de massa em relação à origem O é dada pelo vetor posição . O raio da trajetória circular do elemento de massa é , a distância i ⊥ i

perpendicular entre o elemento e o eixo z.

O módulo do momento angular desse elemento de massa em relação a O é dado i

pela Eq. 11-19:

ℓ = (r )(p )(sen 90 °) = (r )(Δm v ), i i i i i i

em que p e v são o momento linear e a velocidade linear do elemento de massa, e 90° i i

é o ângulo entre e . O vetor momento angular do elemento de massa da Fig. 11-i i i

15a aparece na Fig. 11-15b; o vetor é perpendicular a e . i i

As Componentes z. Estamos interessados na componente de na direção paralela i

ao eixo de rotação, em nosso caso o eixo z. Essa componente é dada por

ℓ = ℓ sen θ = (r sen θ)(Δm v ) = r Δm v . iz i i i i ⊥ i i i A componente z do momento angular do corpo rígido como um todo pode ser calculada somando as contribuições de todos os elementos de massa do corpo. Como v = ωr , podemos escrever ⊥

Figura 11-15 (a) Um corpo rígido gira em torno de um eixo z com velocidade angular ω. Um elemento de massa Δm situado no interior do corpo se move em torno do eixo z em um círculo de raio r i. O elemento de massa i ⊥ possui momento linear , e sua posição em relação à origem O é determinada pelo vetor posição . O elemento i i de massa é mostrado na figura no instante em que r i está paralelo ao eixo x. (b) O momento angular do ⊥ i

elemento de massa do item (a) em relação a O. A componente z, ℓ , também é mostrada na figura. iz

Podemos colocar ω do lado de fora do somatório porque tem o mesmo valor em todos os pontos do corpo rígido.

O fator ΣΔm da Eq. 11-30 é o momento de inércia I do corpo em relação ao eixo i

fixo (veja a Eq. 10-33). Assim, a Eq. 11-30 se reduz a

O índice z foi omitido na Eq. 11-31, mas o leitor deve ter em mente que o momento angular que aparece na equação é o momento angular em torno do eixo de rotação e que I é o momento de inércia em relação ao mesmo eixo.

A Tabela 11-1, que complementa a Tabela 10-3, amplia nossa lista de

correspondências entre movimentos de translação e rotação.

Tabela 11-1 a Outras Correspondências entre os Movimentos de Translação e Rotação

Translação Rotação

Força Torque (= ×

)

Momento Momento (= × linear angular )

Momento (= Σ Momento (= Σ

linearb ) angular ) i b i

Momento = M Momento L = Iω

linearb angular CMc

Segunda lei Segunda lei

de Newtonb de Newton b

Lei de = Lei de =

conservaçãod constante conservaçãod constante

a Veja também a Tabela 10-3.

b Para sistemas de partículas, incluindo corpos rígidos.

cPara um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo; L é a componente paralela ao eixo.