Momento Angular

• O módulo de é dado por

em que ϕ é o ângulo entre e , p e v são as componentes de e perpendiculares a e r é a distância ┴ ┴ τ perpendicular entre o ponto fixo e o prolongamento de .

• A orientação de é dada pela regra da mão direita para produtos vetoriais. Posicione a mão direita para que os dedos estejam na direção de e faça girar os dedos em torno da palma até que estejam na direção de . O polegar estendido fornecerá a orientação de .

Momento Angular

Como vimos em capítulos anteriores, o conceito de momento linear e o princípio de conservação do momento linear são ferramentas extremamente poderosas, que permitem prever, por exemplo, o resultado de uma colisão de dois carros sem conhecer os detalhes da colisão. Vamos iniciar agora a discussão de uma grandeza

correspondente a para movimentos de rotação, terminando no Módulo 11-8 com uma lei, para movimentos de rotação, análoga à lei de conservação do momento linear, que pode levar a movimentos espetaculares (quase mágicos) no balé, nos saltos ornamentais, na patinação no gelo, e em muitas outras atividades esportivas.

A Fig. 11-12 mostra uma partícula de massa m e momento linear (= m ) que está

passando pelo ponto A de um plano xy. O momento angular da partícula em relação à origem O é uma grandeza vetorial definida por meio da equação

em que é o vetor posição da partícula em relação a O. Quando a partícula se move em relação a O na direção do momento linear (= m ), o vetor posição gira em torno de O. Observe que, para possuir momento angular em relação a O, a partícula

não precisa estar girando em torno de O. Comparando as Eqs. 11-14 e 11-18, vemos que a relação entre o momento angular e o momento linear é a mesma que entre o torque e a força. A unidade de momento angular do SI é o quilograma-metro quadrado por segundo (kg · m2/s), que equivale ao joule-segundo (J · s).

Figura 11-12 Definição de momento angular. Uma partícula ao passar pelo ponto A tem momento linear (= m

), com o vetor no plano xy. A partícula tem momento angular (= × ) em relação à origem O. Pela regra

da mão direita, o vetor momento angular aponta no sentido positivo de z. (a) O módulo de é dado por ℓ = rp = ⊥ rmv . (b) O módulo de também é dado por ℓ = r p = r mv. ⊥ ⊥ ⊥

Orientação. Para determinar a orientação do vetor momento angular na Fig. 11-

12, deslocamos o vetor até que a origem coincida com o ponto O. Em seguida, usamos a regra da mão direita para produtos vetoriais envolvendo o vetor com os dedos da mão direita apontados para o vetor . O dedo polegar esticado mostra que

aponta no sentido positivo do eixo z da Fig. 11-12. O sentido positivo corresponde a uma rotação do vetor posição no sentido anti-horário em torno do eixo z, associada ao movimento da partícula. (O sentido negativo de corresponderia a uma rotação de

em torno do eixo z no sentido horário.)

Módulo. Para determinar o módulo de , usamos a Eq. 3-27 para escrever em que ϕ é o menor ângulo entre e quando os dois vetores têm uma origem

comum. De acordo com a Fig. 11-12a, a Eq. 11-19 pode ser escrita na forma

em que p é a componente de perpendicular a e v é a componente de ⊥ ⊥

perpendicular a . De acordo com a Fig. 11-12b, a Eq. 11-19 pode ser escrita na forma

em que r é a distância perpendicular entre O e a extensão de . ⊥

Importante. Note o seguinte: (1) o momento angular tem significado apenas em

relação a um ponto dado; (2) o vetor momento angular é sempre perpendicular ao plano formado pelos vetores posição e momento linear, e .

Teste 4

Na parte a da figura, as partículas 1 e 2 giram em torno do ponto O em sentidos opostos, em circunferências de 4 m e 2 m de raio, respectivamente. Na parte b, as partículas 3 e 4 se movem na mesma direção, em linha reta, a 4 m e 2 m de distância perpendicular do ponto O, respectivamente. A partícula 5 se afasta de O ao longo de uma linha reta que passa por O. As cinco partículas têm a mesma massa e a mesma velocidade constante. (a) Ordene as partículas de acordo com o módulo do momento angular em relação a O, em ordem decrescente. (b) Quais das partículas possuem momento angular negativo em relação a O?

Exemplo 11.03 Momento angular de um

sistema de duas partículas

A Fig. 11-13 mostra uma vista superior de duas partículas que se movem com velocidade constante ao longo de trajetórias horizontais. A partícula 1, com um momento de módulo p = 5,0 kg · m/s, tem um vetor posição e 1 1

passará a 2,0 m de distância do ponto O. A partícula 2, com um momento de módulo p = 2,0 kg · m/s, tem um vetor posição e passará a 4,0 m de 2 2

distância do ponto O. Qual é o módulo e qual é a orientação do momento angular total em relação ao ponto O do sistema formado pelas duas partículas?

IDEIA-CHAVE

Para determinar , basta calcular os momentos angulares das duas

partículas, e , e somá-los. Para calcular o módulo dos momentos 1 2

angulares, podemos usar qualquer das Eqs. 11-18 a 11-21. Entretanto, a Eq.

11-21 é a mais fácil neste caso, já que conhecemos as distâncias perpendiculares r (= 2,0 m) e r (= 4,0 m) e o módulo dos momentos ⊥ 1 ⊥ 2

lineares, p e p . 1 2

Cálculos: No caso da partícula 1, a Eq. 11-21 nos dá

Figura 11-13 Duas partículas passam nas proximidades do ponto O.

Para determinar a orientação do vetor , usamos a Eq. 11-18 e a regra da 1

mão direita para produtos vetoriais. No caso de × , o produto vetorial 1 1

aponta para fora do papel, perpendicularmente ao plano da Fig. 11-13. Este é o sentido positivo, já que o vetor posição da partícula gira no sentido 1