Trabalho Realizado por uma Força Elástica

7.09 Aplicar a relação (lei de Hooke) entre a força que uma mola exerce sobre um objeto, o alongamento

ou encurtamento da mola, e a constante elástica da mola.

7.10 Saber que a força elástica é uma força variável.

7.11 Calcular o trabalho realizado sobre um objeto por uma força elástica integrando a força da posição

inicial até a posição final do objeto ou usando resultado conhecido dessa integração.

7.12 Calcular o trabalho realizado sobre um objeto por uma força elástica determinando a área sob a curva

de um gráfico da força elástica em função da posição do objeto.

7.13 Aplicar o teorema do trabalho e energia cinética a situações nas quais o movimento de um objeto é

causado por uma força elástica.

 

Ideias-Chave

• A força exercida por uma mola é dada por s

 

= –k (Lei de Hooke),

 

em que é o deslocamento da extremidade livre da mola a partir do estado relaxado (em que a mola não está comprimida ou alongada), e k é a constante elástica (uma medida da rigidez da mola). Se o eixo x é paralelo à maior dimensão da mola, com a origem na posição da extremidade livre quando a mola está relaxada, a equação se torna

 

F = –kx (Lei de Hooke). x

 

• A força exercida por uma mola é uma força variável, pois depende da posição da extremidade livre da mola.

• Se um objeto é preso à extremidade livre de uma mola, o trabalho W realizado sobre o objeto pela força s

da mola quando o objeto é deslocado de uma posição inicial x para uma posição final x é dado por i f

 

Se x = 0 e x = x, a equação se torna i f

 

Trabalho Realizado por uma Força Elástica Vamos agora discutir o trabalho realizado sobre uma partícula por um tipo particular de força variável: a força elástica exercida por uma mola. Muitas forças da natureza podem ser expressas pela mesma equação matemática que a força de uma mola. Assim, examinando essa força em particular, podemos compreender muitas outras.

 

A Força Elástica

A Fig. 7-10a mostra uma mola no estado relaxado, ou seja, nem comprimida nem alongada. Uma das extremidades está fixa, e um objeto que se comporta como uma partícula, um bloco, por exemplo, está preso na outra extremidade.

Se alongamos a mola puxando o bloco para a direita, como na Fig. 7-10b, a mola puxa o bloco para a esquerda. (Como a força elástica tende a restaurar o estado relaxado, ela também é chamada de força restauradora.) Se

comprimimos a mola empurrando o bloco para a esquerda, como na Fig. 7-10c, a mola empurra o bloco para a direita.

Uma boa aproximação para muitas molas consiste em supor que a força é s

proporcional ao deslocamento da extremidade livre a partir da posição que ocupa quando a mola está no estado relaxado. Nesse caso, a força elástica é dada por

 

A Eq. (7-20) é conhecida como lei de Hooke em homenagem a Robert Hooke,

cientista inglês do final do século XVII. O sinal negativo da Eq. 7-20 indica que o sentido da força elástica é sempre oposto ao sentido do deslocamento da extremidade livre da mola. A constante k é chamada de constante elástica (ou constante de força) e é uma medida da rigidez da mola. Quanto maior o valor de k, mais rígida é a mola, ou seja, maior é a força exercida pela mola para um dado deslocamento. A unidade de k do SI é o newton por metro.

Figura 7-10 (a) Uma mola no estado relaxado. A origem do eixo x foi colocada na extremidade da mola que está presa ao bloco. (b) O bloco sofre um deslocamento , e a mola sofre uma distensão (variação

positiva de x). Observe a força restauradora exercida pela mola. (c) A mola sofre uma compressão s (variação negativa de x). Observe novamente a força restauradora.

 

Na Fig. 7-10 foi traçado um eixo x paralelo à maior dimensão da mola, com

a origem (x = 0) na posição da extremidade livre quando a mola está no estado

relaxado. Para essa configuração, que é a mais comum, podemos escrever a Eq.

7-20 na forma

 

em que mudamos o índice. Se x é positivo (ou seja, se a mola está alongada

para a direita), F é negativa (é um puxão para a esquerda). Se x é negativo (ou x

seja, se a mola está comprimida para a esquerda), F é positiva (é um empurrão x para a direita). Note que a força elástica é uma força variável, uma vez que

depende de x, a posição da extremidade livre. Assim, F pode ser representada x na forma F(x). Note também que a lei de Hooke expressa uma relação linear

entre F e x. x

 

Trabalho Realizado por uma Força Elástica

Para determinar o trabalho realizado pela força elástica quando o bloco da Fig.

7-10a se move, vamos fazer duas hipóteses simplificadoras a respeito da mola. (1) Vamos supor que se trata de uma mola sem massa; ou seja, de uma mola cuja massa é desprezível em relação à massa do bloco. (2) Vamos supor que se trata de uma mola ideal; ou seja, de uma mola que obedece exatamente à lei de Hooke. Vamos supor também que não existe atrito entre o bloco e o piso e que o bloco se comporta como uma partícula.

Vamos dar ao bloco um impulso para a direita, apenas para colocá-lo em

movimento. Quando o bloco se move para a direita, a força elástica F realiza x trabalho sobre ele, diminuindo a energia cinética e desacelerando o bloco.

Entretanto, não podemos calcular o trabalho usando a Eq. 7-7 (W = Fd cos ϕ) porque essa equação só é válida se a força for constante e a força elástica é uma força variável.

Existe uma forma engenhosa de superar essa dificuldade. (1) Dividimos o

deslocamento do bloco em segmentos tão pequenos que podemos supor que a força não varia dentro de cada segmento. (2) Nesse caso, em cada segmento, a

força é (aproximadamente) constante e podemos usar a Eq. 7-7 para calcular o trabalho realizado pela força. (3) Para obter a força total, somamos o trabalho realizado pela força em todos os segmentos. Bem, essa é a ideia geral, mas não estamos dispostos a passar vários dias calculando o valor do trabalho nos segmentos; além disso, o valor total obtido seria apenas uma aproximação. Em vez disso, vamos tornar os segmentos infinitesimais, o que faz o erro de aproximação tender a zero, e somar os resultados por integração em vez de executar a soma segmento por segmento. Usando os métodos do cálculo, podemos fazer a conta em poucos minutos.

Seja x a posição inicial do bloco e x a posição do bloco em um instante i f

posterior. Vamos dividir a distância entre as duas posições em muitos segmentos, cada um com um pequeno comprimento Δx. Rotulamos esses

segmentos, a partir de x , como segmentos 1, 2, e assim por diante. Quando o i

bloco se move no interior de um dos segmentos, a força elástica praticamente não varia, já que o segmento é tão curto que x é praticamente constante. Assim, podemos supor que o módulo da força é aproximadamente constante dentro de

cada segmento. Vamos rotular esses módulos como F no segmento 1, F no x1 x2 segmento 2, e assim por diante.

Com uma força constante em cada segmento, podemos calcular o trabalho

realizado dentro de cada segmento usando a Eq. 7-7. Nesse caso, ϕ = 180°, de

modo que cos ϕ = –1. Assim, o trabalho realizado é –F Δx no segmento 1, – x1

F Δx no segmento 2, e assim por diante. O trabalho total W realizado pela x2 s

mola de x a x é a soma de todos esses trabalhos: i f

 

em que j = 1, 2, ... é o número de ordem de cada segmento. No limite em que

Δx tende a zero, a Eq. 7-22 se torna

 

De acordo com a Eq. 7-21, o módulo da força F é kx. Assim, temos: x

 

Efetuando as multiplicações, obtemos

 

O trabalho W realizado pela força elástica pode ser negativo ou positivo, s

dependendo do fato de a transferência total de energia ser do bloco para a mola

ou da mola para o bloco quando este se move de x para x . Atenção: A posição i f

final x aparece no segundo termo do lado direito da Eq. 7-25. Assim, de acordo f

com a Eq. 7-25:

O trabalho W é positivo se a posição final do bloco está mais s

próxima da posição no estado relaxado (x = 0) que a posição inicial; é negativo se a posição final está mais afastada de x = 0 que a posição inicial. O trabalho é zero se a posição final do bloco está à mesma distância de x = 0 que a posição inicial.

 

Supondo que x = 0 e chamando a posição final de x, a Eq. 7-25 se torna i

 

Trabalho Realizado por uma Força Aplicada

Suponha agora que deslocamos o bloco ao longo do eixo x mantendo uma força

a aplicada ao bloco. Durante o deslocamento, a força aplicada realiza sobre o

bloco um trabalho W , enquanto a força elástica realiza um trabalho W . De a s

acordo com a Eq. 7-10, a variação ΔK da energia cinética do bloco devido a essas duas transferências de energia é

 

em que K é a energia cinética no fim do deslocamento e K é a energia cinética f i no início do deslocamento. Se o bloco está em repouso no início e no fim do

deslocamento, K e K são iguais a zero e a Eq. 7-27 se reduz a i f

 

Se um bloco preso a uma mola está em repouso antes e depois de um deslocamento, o trabalho realizado sobre o bloco pela força responsável pelo deslocamento é o negativo do trabalho realizado sobre o bloco pela força elástica.

Atenção: Se o bloco não estiver em repouso antes e depois do deslocamento, essa afirmação não é verdadeira.

 

Teste 2

Em três situações, as posições inicial e final, respectivamente, ao

longo do eixo x da Fig. 7-10 são: (a) –3 cm, 2 cm; (b) 2 cm, 3 cm; (c) –2 cm, 2 cm. Em cada situação, o trabalho realizado sobre o bloco pela força elástica é positivo, negativo ou nulo?

 

Exemplo 7.06 Trabalho realizado por uma

mola para mudar a energia cinética

Quando uma mola realiza trabalho sobre um objeto, não podemos calcular o trabalho simplesmente multiplicando a força da mola pelo deslocamento do objeto, pois o valor da força não é constante. Entretanto, podemos dividir o deslocamento em um número infinito de deslocamentos infinitesimais e considerar a força constante em cada um desses deslocamentos. A soma dos trabalhos realizados durante todos os deslocamentos é dada por uma integral. Neste exemplo, vamos usar o resultado genérico dessa integral.

Na Fig. 7-11, depois de deslizar em uma superfície horizontal sem

atrito com velocidade v = 0,50 m/s, um pote de cominho de massa m = 0,40 kg colide com uma mola de constante elástica k = 750 N/m e começa a comprimi-la. No instante em que o pote para momentaneamente por causa da força exercida pela mola, de que distância d a mola foi comprimida?

 

IDEIAS-CHAVE

1. O trabalho W realizado sobre o pote pela força s elástica está relacionado com a distância d pedida

por meio da Eq. 7-26 (W = – kx2) com d s substituindo x.

2. O trabalho W também está relacionado com a s

energia cinética do pote por meio da Eq. 7-10 (Kf

– K = W). i

3. A energia cinética do pote tem um valor inicial K = mv2 e é nula quando o pote está momentaneamente em repouso.

 

Cálculos: Combinando as duas primeiras ideias-chave, escrevemos o teorema do trabalho e energia cinética para o pote na seguinte forma:

 

Substituindo a energia cinética inicial e final pelos seus valores (terceira ideia-chave), temos:

 

Figura 7-11 Um pote de massa m se move com velocidade em direção a uma mola de constante k.

 

Simplificando, explicitando d e substituindo os valores conhecidos, obtemos: