Cálculo do Momento de Inércia

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

10.20 Calcular o momento de inércia de um dos corpos que aparecem na Tabela 10-2.

10.21 Calcular o momento de inércia de um corpo por integração a partir dos elementos de massa do

corpo.

10.22 Aplicar o teorema dos eixos paralelos no caso de um eixo de rotação que não passa pelo centro de

massa do corpo.

 

Ideias-Chave

• I é o momento de inércia de um corpo, definido como

 

para um conjunto de partículas isoladas e como

 

para um corpo com uma distribuição contínua de massa. Os símbolos r e r nessas expressões representam i a distância perpendicular entre o eixo de rotação e uma partícula ou um elemento de massa do corpo, e, no caso de r, a integração se estende a todos os elementos de massa do corpo.

• O teorema dos eixos paralelos relaciona o momento de inércia I de um corpo em relação a um eixo qualquer ao momento de inércia do mesmo corpo em relação a um eixo paralelo ao primeiro que passa pelo centro de massa:

 

I = I + Mh2. CM

 

Aqui, h é a distância perpendicular entre os dois eixos, e I é o momento de inércia do corpo em relação CM

ao eixo que passa pelo centro de massa. Podemos dizer que h é uma medida do deslocamento do eixo de rotação em relação ao eixo que passa pelo centro de massa.

 

Cálculo do Momento de Inércia

Se um corpo rígido contém um número pequeno de partículas, podemos

calcular o momento de inércia em torno de um eixo de rotação usando a Eq.

10-33 (I = ∑m r 2), ou seja, podemos calcular o produto mr2 para cada partícula i i e somar os produtos. (Lembre-se de que r é a distância perpendicular de uma partícula ao eixo de rotação.)

Quando um corpo rígido contém um número muito grande de partículas

muito próximas umas das outras (é contínuo, como um disco de plástico), usar

a Eq. 10-33 torna-se impraticável. Em vez disso, substituímos o somatório da

Eq. 10-33 por uma integral e definimos o momento de inércia do corpo como

 

A Tabela 10-2 mostra o resultado dessa integração para nove formas geométricas comuns e para os eixos de rotação indicados.

 

Teorema dos Eixos Paralelos

Suponha que estamos interessados em determinar o momento de inércia I de um corpo de massa M em relação a um eixo dado. Em princípio, podemos

calcular o valor de I usando a integral da Eq. 10-35. Contudo, o problema fica

mais fácil se conhecemos o momento de inércia I do corpo em relação a um CM eixo paralelo ao eixo desejado, passando pelo centro de massa. Seja h a distância perpendicular entre o eixo dado e o eixo que passa pelo centro de massa (lembre-se de que os dois eixos devem ser paralelos). Nesse caso, o momento de inércia I em relação ao eixo dado é

 

Podemos dizer que h é uma medida do deslocamento do eixo de rotação em

relação ao eixo que passa pelo centro de massa. A Eq. 10-36, conhecida como teorema dos eixos paralelos, será demonstrada a seguir.

 

Tabela 10-2 Alguns Momentos de Inércia

Demonstração do Teorema dos Eixos Paralelos

Seja O o centro de massa de um corpo de forma arbitrária cuja seção reta

aparece na Fig. 10-12. Escolha o ponto O para origem do sistema de coordenadas. Considere um eixo passando por O e perpendicular ao plano do papel e outro eixo passando pelo ponto P e paralelo ao primeiro eixo. Suponha que as coordenadas x e y do ponto P sejam a e b, respectivamente.

Seja dm um elemento de massa de coordenadas genéricas x e y. De acordo

com a Eq. 10-35, o momento de inércia do corpo em relação ao eixo que passa por P é dado por

 

que pode ser escrita na forma

 

De acordo com a definição de centro de massa (Eq. 9-9), as duas integrais do

meio da Eq. 10-37 são as coordenadas do centro de massa (multiplicadas por constantes) e, portanto, devem ser nulas. Como x2 + y2 = R2, em que R é a

distância de O a dm, a primeira integral é simplesmente I , o momento de CM

inércia do corpo em relação a um eixo passando pelo centro de massa.

Observando a Fig. 10-12, vemos que o último termo da Eq. 10-37 é Mh2, em

que M é a massa total do corpo. Assim, a Eq. 10-37 se reduz à Eq. 10-36, que é a relação que queríamos demonstrar.

 

Figura 10-12 Seção transversal de um corpo rígido, com o centro de massa em O. O teorema dos eixos

paralelos (Eq. 10-36) relaciona o momento de inércia do corpo em relação a um eixo passando por O ao momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao primeiro passando por um ponto P situado a uma distância h do centro de massa. Os dois eixos são perpendiculares ao plano da figura.

 

Teste 5

A figura mostra um livro e quatro eixos de rotação, todos perpendiculares à capa do livro. Ordene os eixos de acordo com o

momento de inércia do objeto em relação ao eixo, começando pelo maior.

 

Exemplo 10.06 Momento de inércia de um

sistema de duas partículas

A Fig. 10-13a mostra um corpo rígido composto por duas partículas de massa m ligadas por uma barra de comprimento L e massa desprezível.

(a) Qual é o momento de inércia I em relação a um eixo passando CM

pelo centro de massa e perpendicular à barra, como mostra a figura?

 

IDEIA-CHAVE

Como temos apenas duas partículas com massa, podemos calcular o

momento de inércia I do corpo usando a Eq. 10-33. CM

 

Cálculos: Para as duas partículas, ambas a uma distância perpendicular L/2 do eixo de rotação, temos:

 

(b) Qual é o momento de inércia I do corpo em relação a um eixo passando pela extremidade esquerda da barra e paralelo ao primeiro

eixo (Fig. 10-13b)?

IDEIAS-CHAVE

Essa situação é tão simples que podemos determinar I usando duas técnicas. A primeira é semelhante à que foi usada no item (a). A outra, mais geral, envolve o uso do teorema dos eixos paralelos.

 

Primeira técnica: Calculamos I como no item (a), exceto pelo fato de

que, agora, a distância perpendicular r é zero para a partícula da i

esquerda e L para a partícula da direita. De acordo com a Eq. 10-33,

 

Segunda técnica: Como já conhecemos I , o momento de inércia CM em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, e como o eixo especificado é paralelo a esse “eixo do CM”, podemos usar o teorema

dos eixos paralelos (Eq. 10-36). Temos

Figura 10-13 Um corpo rígido composto por duas partículas de massa m unidas por uma barra de massa desprezível.

 

Exemplo 10.07 Momento de inércia de

uma barra homogênea, calculado por

integração

A Fig. 10-14 mostra uma barra fina, homogênea, de massa M e comprimento L, e um eixo x ao longo da barra cuja origem coincide com o centro da barra.

(a) Qual é o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra passando pelo centro?

 

IDEIAS-CHAVE

(1) A barra é formada por um número muito grande de partículas, a um número muito grande de distâncias diferentes do eixo de rotação. Certamente não podemos calcular o momento de inércia de cada uma dessas partículas e somar os resultados. O que fazemos é escrever uma expressão geral para o momento de inércia de um elemento de massa dm situado a uma distância r do eixo de rotação: r2 dm. (2) Em seguida, somamos os momentos de inércia de todos os elementos de massa da barra integrando a expressão (em vez de somar os

elementos um a um). Para isso, usamos a Eq. 10-35:

 

(3) Como a barra é homogênea e o eixo de rotação está no centro, o centro de massa coincide com o centro geométrico. Assim, o

momento de inércia pedido é I . CM

 

Cálculos: Como queremos integrar em relação à coordenada x e não

em relação à massa m, como na integral da Eq. 10-38, devemos relacionar a massa dm de um elemento da barra a um elemento de distância dx ao longo da barra. (Um desses elementos é mostrado na

Fig. 10-14.) Como a barra é homogênea, a razão entre massa e comprimento é a mesma para todos os elementos e para a barra como um todo, de modo que podemos escrever

 

Podemos agora substituir dm por esse valor e r por x na Eq. 10-38. Em seguida, integramos de uma extremidade a outra da barra (de x = −L/2 a x = L/2) para levar em conta todos os elementos. Temos:

(b) Qual é o momento de inércia I da barra em relação a um novo eixo perpendicular à barra passando pela extremidade esquerda?

 

IDEIAS-CHAVE

Poderíamos calcular I mudando a origem do eixo x para a extremidade esquerda da barra e integrando de x = 0 a x = L. Entretanto, vamos usar uma técnica mais geral (e mais simples), que

envolve o uso do teorema dos eixos paralelos (Eq. 10-36).

 

Cálculos: Colocando o eixo na extremidade esquerda da barra e mantendo-o paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa,

podemos usar o teorema dos eixos paralelos (Eq. 10-36). De acordo

com o item (a), I = ML2/12. Como mostra a Fig. 10-14, a distância CM

perpendicular h entre o novo eixo de rotação e o centro de massa é

L/2. Substituindo esses valores na Eq. 10-36, temos:

 

Na verdade, o mesmo resultado é obtido para qualquer eixo perpendicular à barra passando pela extremidade esquerda ou direita,

seja ou não paralelo ao eixo da Fig. 10-14.

Figura 10-14 Uma barra homogênea de comprimento L e massa M. Um elemento de massa dm e comprimento dx está representado na figura.

 

Exemplo 10.08 Energia cinética de

rotação em um teste explosivo

As peças de máquinas que serão submetidas constantemente a rotações em alta velocidade costumam ser testadas em um sistema de ensaio de rotação. Nesse tipo de sistema, a peça é posta para girar rapidamente no interior de uma montagem cilíndrica de tijolos de chumbo com um revestimento de contenção, tudo isso dentro de uma câmara de aço fechada por uma tampa lacrada. Se a rotação faz a peça se estilhaçar, os tijolos de chumbo, sendo macios, capturam os fragmentos para serem posteriormente analisados.

Em 1985, a empresa Test Devices, Inc. (www.testdevices.com)

estava testando um rotor de aço maciço, em forma de disco, com massa M = 272 kg e raio R = 38,0 cm. Quando a peça atingiu uma velocidade angular ω de 14.000 rev/min, os engenheiros que realizavam o ensaio ouviram um ruído seco na câmara, que ficava um andar abaixo e a uma sala de distância. Na investigação, descobriram que tijolos de chumbo haviam sido lançados no corredor que levava à sala de testes, uma das portas da sala havia sido arremessada no estacionamento do lado de fora do prédio, um tijolo de chumbo havia atravessado a parede e invadido a cozinha de um vizinho, as vigas estruturais do edifício do teste tinham sido danificadas, o chão de concreto abaixo da câmara de ensaios havia afundado cerca de 0,5 cm

e a tampa de 900 kg tinha sido lançada para cima, atravessara o teto e

caíra de volta, destruindo o equipamento de ensaio (Fig. 10-15). Os fragmentos da explosão só não penetraram na sala dos engenheiros por pura sorte.

Qual foi a energia liberada pela explosão do rotor?

 

IDEIA-CHAVE

A energia liberada foi igual à energia cinética de rotação K do rotor no momento em que a velocidade angular era 14.000 rev/min.

 

Courtesy Test Devices, Inc.

Figura 10-15 Parte da destruição causada pela explosão de um disco de aço em alta rotação.

 

Cálculos: Podemos calcular K usando a Eq. 10-34 (K = Iω2), mas, para isso, precisamos conhecer o momento de inércia I. Como o rotor era um disco que girava como um carrossel, I é dado pela expressão

apropriada da Tabela 10-2c (I = MR2). Assim, temos:

 

A velocidade angular do rotor era