Independência da Trajetória de Forças Conservativas

4. Quando a mudança da configuração se inverte, a força inverte o sentido da transferência de energia, realizando um trabalho W2 no processo.

Nas situações em que a relação W = −W é sempre observada, a outra forma de 1 2

energia é uma energia potencial e dizemos que a força é uma força conservativa. Como o leitor já deve ter desconfiado, a força gravitacional e a força elástica são conservativas (de outra forma, não poderíamos ter falado em energia potencial gravitacional e energia potencial elástica, como fizemos anteriormente).

Uma força que não é conservativa é chamada de força dissipativa. A força de

atrito cinético e a força de arrasto são forças dissipativas. Imagine, por exemplo, um bloco deslizando em um piso em uma situação na qual o atrito não seja desprezível. Durante o deslizamento, a força de atrito cinético exercida pelo piso realiza um trabalho negativo sobre o bloco, reduzindo sua velocidade e transferindo a energia cinética do bloco para outra forma de energia chamada energia térmica (que está associada ao movimento aleatório de átomos e moléculas). Os experimentos mostram que essa transferência de energia não pode ser revertida (a energia térmica não pode ser convertida de volta em energia cinética do bloco pela força de atrito cinético). Assim, embora tenhamos um sistema (composto pelo bloco e pelo piso), uma força que atua entre partes do sistema e uma transferência de energia causada pela força, a força não é conservativa. Isso significa que a energia térmica não é uma energia potencial.

Quando um objeto que se comporta como uma partícula está sujeito apenas a

forças conservativas, certos problemas que envolvem o movimento do objeto se tornam muito mais simples. No próximo módulo, em que apresentamos um método para identificar forças conservativas, será apresentado um exemplo desse tipo de simplificação.

Independência da Trajetória de Forças Conservativas

O teste principal para determinar se uma força é conservativa ou dissipativa é o seguinte: Deixa-se a força atuar sobre uma partícula que se move ao longo de um percurso fechado, ou seja, um caminho que começa e termina na mesma posição. A força é conservativa se e apenas se for nula a energia total transferida durante esse ou qualquer outro percurso fechado. Em outras palavras:

O trabalho total realizado por uma força conservativa sobre uma partícula que se move ao longo de qualquer percurso fechado é nulo.

Os experimentos mostram que a força gravitacional passa neste teste do percurso

fechado. Um exemplo é o tomate da Fig. 8-2. O tomate deixa o ponto de lançamento

com velocidade v e energia cinética . A força gravitacional que age sobre o 0

tomate reduz sua velocidade a zero e depois o faz cair de volta. Quando o tomate retorna ao ponto de partida, ele possui novamente uma velocidade v e uma energia 0 cinética . Assim, a força gravitacional extrai tanta energia do tomate durante a subida quanto fornece energia ao tomate durante a descida. O trabalho total realizado sobre o tomate pela força gravitacional durante a viagem de ida e volta é, portanto, nulo.

Uma consequência importante do teste do percurso fechado é a seguinte:

O trabalho realizado por uma força conservativa sobre uma partícula que se move entre dois pontos não depende da trajetória seguida pela partícula.

Suponha, por exemplo, que a partícula se move do ponto a para o ponto b da Fig. 8-

4a seguindo a trajetória 1 ou a trajetória 2. Se todas as forças que agem sobre a partícula são conservativas, o trabalho realizado sobre a partícula é o mesmo para as duas trajetórias. Em símbolos, podemos escrever esse resultado como

em que o índice ab indica os pontos inicial e final, respectivamente, e os índices 1 e 2 indicam a trajetória.

Esse resultado é importante porque permite simplificar problemas difíceis quando

apenas uma força conservativa está envolvida. Suponha que você precise calcular o trabalho realizado por uma força conservativa ao longo de uma trajetória entre dois pontos, e que o cálculo seja difícil ou mesmo impossível sem informações adicionais. Você pode determinar o trabalho substituindo a trajetória entre esses dois pontos por outra para a qual o cálculo seja mais fácil.

Figura 8-4 (a) Uma partícula pode se mover do ponto a ao ponto b, sob a ação de uma força conservativa, seguindo a trajetória 1 ou a trajetória 2. (b) A partícula descreve um percurso fechado, seguindo a trajetória 1 para ir do ponto a ao ponto b e a trajetória 2 para voltar ao ponto a.

Demonstração da Equação 8-2

A Fig. 8-4b mostra um percurso fechado, arbitrário, de uma partícula sujeita à ação de uma única força. A partícula se desloca de um ponto inicial a para um ponto b seguindo a trajetória 1 e volta ao ponto a seguindo a trajetória 2. A força realiza trabalho sobre a partícula enquanto ela se desloca em cada uma das trajetórias. Sem nos preocuparmos em saber se o trabalho realizado é positivo ou negativo, vamos representar o trabalho realizado de a a b ao longo da trajetória 1 como W e o ab,1

trabalho realizado de b a a ao longo da trajetória 2 como Wba,2. Se a força é conservativa, o trabalho total realizado durante a viagem de ida e volta é zero:

W + W = 0, ab,1 ba,2

e portanto,

Em palavras, o trabalho realizado ao longo da trajetória de ida é o negativo do trabalho realizado ao longo da trajetória de volta.

Consideremos agora o trabalho W realizado pela força sobre a partícula quando ab,2

ela se move de a para b ao longo da trajetória 2 (Fig. 8-4a). Se a força é conservativa, esse trabalho é o negativo de W : ba,2

Substituindo −Wba,2 por Wab,2 na Eq. 8-3, obtemos

W = W , ab,1 ab,2

como queríamos demonstrar.

Teste 1

A figura mostra três trajetórias ligando os pontos a e b. Uma única força

realiza o trabalho indicado sobre uma partícula que se move ao longo de

cada trajetória no sentido indicado. Com base nessas informações, podemos afirmar que a força é conservativa?

Exemplo 8.01 Trajetórias equivalentes para

calcular o trabalho sobre um queijo gorduroso

A lição principal que se pode extrair deste exemplo é a seguinte: É perfeitamente aceitável escolher um caminho fácil em vez de um caminho

difícil. A Fig. 8-5a mostra um pedaço de 2,0 kg de queijo gorduroso que desliza por uma rampa, sem atrito, do ponto a ao ponto b. O queijo percorre uma distância total de 2,0 m e uma distância vertical de 0,80 m. Qual é o trabalho realizado sobre o queijo pela força gravitacional durante o deslocamento?

IDEIAS-CHAVE

(1) Não podemos usar a Eq. 7-12 (W = mgd cos ϕ) para calcular o g trabalho, já que o ângulo ϕ entre a força gravitacional g e o deslocamento

varia de ponto para ponto de forma desconhecida. (Mesmo que

conhecêssemos a forma da trajetória e pudéssemos determinar o valor de ϕ para todos os pontos, o cálculo provavelmente seria muito difícil.) (2) Como é uma força conservativa, podemos calcular o trabalho g

escolhendo outra trajetória entre a e b que torne os cálculos mais simples.

Cálculos: Vamos escolher o percurso tracejado da Fig. 8-5b, que é formado por dois segmentos de reta. Ao longo do segmento horizontal, o ângulo ϕ é constante e igual a 90°. Não conhecemos o deslocamento

horizontal de a até b, mas, de acordo com a Eq. 7-12, o trabalho Wh realizado ao longo desse segmento é

W = mgd cos 90° = 0. h

No segmento vertical, o deslocamento d é 0,80 m e, com g e apontando verticalmente para baixo, o ângulo ϕ é constante e igual a 0°.

Assim, de acordo com a Eq. 7-12, o trabalho Wv realizado ao longo do trecho vertical do percurso tracejado é dado por

Figura 8-5 (a) Um pedaço de queijo desliza por uma rampa, sem atrito, do ponto a para o ponto b. (b) O trabalho realizado pela força gravitacional sobre o queijo é mais fácil de calcular para a trajetória