As Variáveis da Rotação

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Figura 10-1 A patinadora Sasha Cohen em um movimento (a) de translação pura em uma direção fixa e (b) de rotação pura em torno de um eixo vertical.

 

Figura 10-2 Um corpo rígido de forma arbitrária em rotação pura em torno do eixo z de um sistema de coordenadas. A posição da reta de referência em relação ao corpo rígido é arbitrária, mas a reta é perpendicular ao eixo de rotação e mantém sempre a mesma posição em relação ao corpo, girando com ele.

 

As Variáveis da Rotação

Neste capítulo, vamos estudar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. Um corpo rígido é um corpo que gira com todas as partes ligadas entre si e sem mudar de forma. Um eixo fixo é um eixo que não muda de posição. Isso significa que não examinaremos um objeto como o Sol, pois as partes do Sol (uma bola de gás) não estão ligadas entre si; também não examinaremos um objeto como uma bola de boliche rolando em uma pista, já que a bola gira em torno de um eixo que muda constantemente de posição (o movimento da bola é uma mistura de rotação e translação).

A Fig. 10-2 mostra um corpo rígido de forma arbitrária girando em torno de um eixo fixo, chamado eixo de

rotação. Em uma rotação pura (movimento angular), todos os pontos do corpo se movem ao longo de circunferências cujo centro está no eixo de rotação, e todos os pontos descrevem o mesmo ângulo no mesmo intervalo de tempo. Na translação pura (movimento linear), todos os pontos se movem ao longo de linhas retas, e todos os pontos percorrem a mesma distância no mesmo intervalo de tempo.

Vamos discutir agora (um de cada vez) os equivalentes angulares das grandezas lineares posição, deslocamento,

velocidade e aceleração.

 

Posição Angular

A Fig. 10-2 mostra uma reta de referência, fixa ao corpo, perpendicular ao eixo de rotação e girando com o corpo. A posição angular da reta é o ângulo que a reta faz com uma direção fixa, que tomamos como a posição angular

zero. Na Fig. 10-3, a posição angular θ é medida em relação ao semieixo x positivo. De acordo com a geometria, θ é dado por

 

Aqui, s é comprimento de um arco de circunferência que vai do eixo x (posição angular zero) até a reta de referência, e r é o raio da circunferência.

 

Figura 10-3 Seção transversal do corpo rígido em rotação da Fig. 10-2, visto de cima. O plano da seção transversal é perpendicular ao eixo de rotação, que agora está perpendicular ao plano do papel, saindo do papel. Nessa posição do corpo, a reta de referência faz um ângulo θ com o eixo x.

Um ângulo definido dessa forma é medido em radianos (rad) e não em revoluções (rev) ou em graus. Como é a

razão entre dois comprimentos, o radiano é um número puro, ou seja, não tem dimensão. Como o comprimento de uma circunferência de raio r é 2πr, uma circunferência completa equivale a 2π radianos:

 

Não reajustamos θ para zero a cada volta completa da reta de referência. Se a reta de referência completa duas revoluções a partir da posição angular zero, a posição angular da reta é θ = 4π rad.

No caso da translação pura de uma partícula ao longo de um eixo x, o movimento da partícula é totalmente

descrito por uma função x(t), a posição da partícula em função do tempo. Analogamente, no caso da rotação pura de um corpo rígido, o movimento da partícula é totalmente descrito por uma função θ(t), a posição angular da reta de referência do corpo em função do tempo.

Deslocamento Angular

Se o corpo da Fig. 10-3 gira em torno do eixo de rotação como na Fig. 10-4, com a posição angular da reta de referência variando de θ1 para θ2, o corpo sofre um deslocamento angular Δθ dado por

 

Essa definição de deslocamento angular é válida, não só para o corpo rígido como um todo, mas também para todas as partículas do corpo.

Os Relógios São Negativos. Se um corpo está em movimento de translação ao longo de um eixo x, o

deslocamento Δx pode ser positivo ou negativo, dependendo de se o movimento ocorre no sentido positivo ou negativo do eixo. Da mesma forma, o deslocamento angular Δθ de um corpo em rotação pode ser positivo ou negativo, de acordo com a seguinte regra:

 

Um deslocamento angular no sentido anti-horário é positivo, e um deslocamento angular no sentido horário é negativo.

 

A frase “os relógios são negativos” pode ajudá-lo a memorizar essa regra (os relógios certamente são negativos quando tocam de manhã cedo).

 

Teste 1

Um disco pode girar em torno de um eixo central como se fosse um carrossel. Quais dos seguintes pares de valores para as posições inicial e final, respectivamente, correspondem a um deslocamento angular negativo: (a) −3 rad, +5 rad, (b) −3 rad, −7 rad, (c) 7 rad, −3 rad?

 

Velocidade Angular

Suponha que um corpo em rotação está na posição angular θ 1 no instante t1 e na posição angular θ2 no instante t2,

como na Fig. 10-4. Definimos a velocidade angular média do corpo no intervalo de tempo Δt de t1 a t2 como

 

em que Δθ é o deslocamento angular que acontece durante o intervalo de tempo Δt (ω é a letra grega ômega minúscula).

A velocidade angular (instantânea) ω, na qual estaremos mais interessados, é o limite da razão da Eq. 10-5

quando Δt tende a zero:

Figura 10-4 A reta de referência do corpo rígido das Figs. 10-2 e 10-3 está na posição angular θ no instante t e na posição angular θ no instante t . A 1 1 2 2 grandeza Δθ (= θ − θ ) é o deslocamento angular que acontece no intervalo Δt (= t – t ). O corpo propriamente dito não é mostrado na figura. 2 1 2 1

 

Como o próprio nome indica, a velocidade angular instantânea é a velocidade angular do corpo em um dado instante t. Se conhecemos θ(t), podemos calcular a velocidade angular ω por derivação.

As Eqs. 10-5 e 10-6 valem não só para o corpo rígido como um todo, mas também para todas as partículas do

corpo, uma vez que as distâncias relativas são mantidas fixas. As unidades de velocidade angular mais usadas são o radiano por segundo (rad/s) e a revolução por segundo (rev/s). Outra medida de velocidade angular foi usada durante muitos anos pela indústria fonográfica: a música era reproduzida em discos de vinil que giravam a “33 1/3 rpm” ou “45 rpm”, o que significava 33 1/3 rev/min ou 45 rev/min.

Se uma partícula se move em translação ao longo de um eixo x, a velocidade linear v da partícula pode ser

positiva ou negativa, dependendo de se a partícula está se deslocando no sentido positivo ou negativo do eixo. Analogamente, a velocidade angular ω de um corpo rígido em rotação pode ser positiva ou negativa, dependendo de se o corpo está girando no sentido anti-horário (positivo) ou horário (negativo). (“Os relógios são negativos” também funciona neste caso.) O módulo da velocidade angular é chamado de velocidade angular escalar e também é representado por ω.

 

Aceleração Angular

Se a velocidade angular de um corpo em rotação não é constante, o corpo possui uma aceleração angular. Sejam ω 2 e ω as velocidades angulares nos instantes t e t , respectivamente. A aceleração angular média do corpo em 1 2 1 rotação no intervalo de t1 a t2 é definida por meio da equação

 

em que Δω é a variação da velocidade angular no intervalo Δt.

A aceleração angular (instantânea) α, na qual estaremos mais interessados, é o limite dessa grandeza quando

Δt tende a zero:

 

Como o próprio nome indica, a aceleração angular instantânea é a aceleração angular do corpo em um dado

instante t. Se conhecemos ω(t), podemos calcular a aceleração angular α por derivação. As Eqs. 10-7 e 10-8 também são válidas para todas as partículas do corpo. As unidades de aceleração angular mais usadas são o radiano por segundo ao quadrado (rad/s2) e a revolução por segundo ao quadrado (rev/s2).

 

Exemplo 10.01 Cálculo da velocidade angular a partir da posição

angular

O disco da Fig. 10-5a está girando em torno do eixo central como um carrossel. A posição angular θ(t) de uma reta de referência do disco é dada por

 

com t em segundos, θ em radianos e a posição angular zero indicada na figura. (Caso você queira, pode

traduzir tudo isso na notação do Capítulo 2, apagando momentaneamente a palavra “angular” da

expressão “posição angular” e substituindo o símbolo θ pelo símbolo x. O resultado é uma equação que

descreve a posição em função do tempo, para os movimentos unidimensionais do Capítulo 2.)

 

Figura 10-5 (a) Um disco em rotação. (b) Gráfico da posição angular do disco em função do tempo, θ(t). Cinco desenhos indicam a posição angular da reta de referência do disco para cinco pontos da curva. (c) Gráfico da velocidade angular em função do tempo, ω(t). Valores positivos de ω correspondem a rotações no sentido anti-horário; valores negativos, a rotações no sentido horário.

(a) Plote a posição angular do disco em função do tempo, de t = −3,0 s a t = 5,4 s. Desenhe o disco e a reta de referência em t = −2,0 s, 0 s, 4,0 s e nos instantes em que o gráfico cruza o eixo t.

IDEIA-CHAVE

A posição angular do disco é a posição angular θ(t) da reta de referência, dada pela Eq. 10-9 como uma

função do tempo t. Assim, devemos plotar a Eq. 10-9; o resultado aparece na Fig. 10-5b.

Cálculos: Para desenhar o disco e a reta de referência em um certo instante, precisamos determinar o

valor de θ nesse instante. Para isso, substituímos t por seu valor na Eq. 10-9. Para t = −2,0 s, obtemos

 

Isso significa que em t = −2,0 s a reta de referência está deslocada de 1,2 rad = 69º no sentido anti-

horário (porque θ é positivo) em relação à posição zero. O desenho 1 da Fig. 10-5b mostra essa posição da reta de referência.

Da mesma forma, para t = 0, obtemos θ = −1,00 rad = −57º, o que significa que a reta de referência

está deslocada de 1,0 rad = 57º no sentido horário em relação à posição angular zero, como mostra o desenho 3. Para t = 4,0 s, obtemos θ = 0,60 rad = 34º (desenho 5). Fazer desenhos para os instantes em que a curva cruza o eixo t é fácil, pois nesse caso θ = 0 e a reta de referência está momentaneamente alinhada com a posição angular zero (desenhos 2 e 4).

(b) Em que instante tmín o ângulo θ(t) passa pelo valor mínimo mostrado na Fig. 10-5b? Qual é o valor mínimo?

IDEIA-CHAVE

Para determinar o valor extremo (o mínimo, no caso) de uma função, calculamos a derivada primeira da função e igualamos o resultado a zero.

Cálculos: A derivada primeira de θ(t) é

 

Igualando esse resultado a zero e explicitando t, determinamos o instante em que θ(t) é mínimo:

 

Para obter o valor mínimo de θ, substituímos t na Eq. 10-9, o que nos dá mín

 

Esse mínimo de θ(t) (o ponto mais baixo da curva da Fig. 10-5b) corresponde à máxima rotação no sentido horário do disco a partir da posição angular zero, uma rotação um pouco maior que a representada no desenho 3.

(c) Plote a velocidade angular ω do disco em função do tempo de t = −3,0 s a t = 6,0 s. Desenhe o disco e indique o sentido de rotação e o sinal de ω em t = −2,0 s, 4,0 s e tmín.

IDEIAS-CHAVE

De acordo com a Eq. 10-6, a velocidade angular ω é igual a dθ/dt, fornecida pela Eq. 10-10. Temos, portanto,

 

O gráfico da função ω(t) aparece na Fig. 10-5c. Como a função é linear, o gráfico é uma linha reta. A inclinação é 0,500 rad/s2 e o ponto de interseção com o eixo y (que não é mostrado na figura) é −0,600 rad/s.

Cálculos: Para desenhar o disco em t = −2,0 s, substituímos esse valor de t na Eq. 10-11, o que nos dá

 

O sinal negativo mostra que em t = −2,0 s o disco está girando no sentido horário (desenho da esquerda

da Fig. 10-5c).

Fazendo t = 4,0 s na Eq. 10-11, obtemos

 

O sinal positivo implícito mostra que em t = 4,0 s o disco está girando no sentido anti-horário (desenho

da direita da Fig. 10-5c).

Já sabemos que dθ/dt = 0 para t = tmín. Isso significa que, nesse ponto, ω = 0, ou seja, o disco para

momentaneamente quando a reta de referência atinge o valor mínimo de θ na Fig. 10-5b, como sugere o

desenho central na Fig. 10-5c. No gráfico, essa parada momentânea corresponde ao ponto onde a reta intercepta o eixo t e a velocidade angular muda de sinal. (d) Use os resultados anteriores para descrever o movimento do disco de t = −3,0 s a t = 6,0 s.

Descrição: Quando observamos o disco pela primeira vez, em t = −3,0 s, o disco tem uma posição angular positiva e está girando no sentido horário, com velocidade cada vez menor. Depois de parar

momentaneamente na posição angular θ = −1,36 rad, o disco começa a girar no sentido anti-horário e o valor de ω aumenta até se tornar novamente positivo.

 

Exemplo 10.02 Cálculo da velocidade angular a partir da

aceleração angular

Um pião gira com aceleração angular

α = 5t2 − 4t

em que t está em segundos e α está em radianos por segundo ao quadrado. No instante t = 0, a velocidade angular do pião é 5 rad/s e uma reta de referência traçada no pião está na posição angular θ = 2 rad. (a) Obtenha uma expressão para a velocidade angular do pião, ω(t), ou seja, escreva uma expressão que descreva explicitamente a variação da velocidade angular com o tempo. (Sabemos que a velocidade angular varia com o tempo, já que existe uma aceleração angular.)

IDEIA-CHAVE

Por definição, α(t) é a derivada de ω(t) em relação ao tempo. Assim, podemos obter ω(t) integrando α(t) em relação ao tempo.

Cálculos: De acordo com a Eq. 10-8,

 

o que nos dá

 

Para calcular o valor da constante de integração C, observamos que ω = 5 rad/s no instante t = 0. Substituindo esses valores na expressão de ω, obtemos:

5 rad/s = 0 − 0 + C,

e, portanto, C = 5 rad/s. Nesse caso,

 

(b) Obtenha uma expressão para a posição angular do pião, θ(t).

IDEIA-CHAVE

Por definição, ω(t) é a derivada de θ(t) em relação ao tempo. Assim, podemos obter θ(t) integrando ω(t) em relação ao tempo.

Cálculos: Como, de acordo com a Eq. 10-6,

dθ = ω dt,

podemos escrever