Trabalho e Energia Cinética de Rotação

• Para τ constante, a integral se reduz a

 

W = τ(θ − θ ). f i

 

• No caso de rotações, o teorema do trabalho e energia cinética assume a seguinte forma:

 

Trabalho e Energia Cinética de Rotação

Como foi visto no Capítulo 7, quando uma força F acelera um corpo rígido de massa m, a força realiza um trabalho W sobre o corpo. Isso significa que a energia cinética do corpo (K = mv2) pode mudar. Suponha que essa seja a única energia do corpo que muda. Nesse caso, podemos relacionar a variação ΔK da energia cinética ao trabalho W por meio do teorema do trabalho e

energia cinética (Eq. 7-10), escrevendo

 

Para um movimento restrito a um eixo x, podemos calcular o trabalho

utilizando a Eq. 7-32,

 

A Eq. 10-50 se reduz a W = Fd quando F é constante e o deslocamento do corpo é d. A taxa com a qual o trabalho é realizado é a potência, que pode ser

calculada usando as Eqs. 7-43 e 7-48,

Vamos considerar uma situação análoga para rotações. Quando um torque acelera um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo, o torque realiza um trabalho W sobre o corpo. Isso significa que a energia cinética rotacional do corpo (K = Iω2) pode mudar. Suponha que essa seja a única energia do corpo que muda. Nesse caso, podemos relacionar a variação ΔK da energia cinética ao trabalho W por meio do teorema do trabalho e energia cinética, com a diferença de que, agora, a energia cinética é uma energia cinética rotacional:

 

Aqui, I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo fixo e ω e ω são i f as velocidades angulares do corpo antes e depois que o trabalho é realizado.

Podemos calcular o trabalho executado durante uma rotação usando uma

equação análoga à Eq. 10-50,

 

em que τ é o torque responsável pelo trabalho W, e θ e θ são, respectivamente, i f a posição angular do corpo antes e depois da rotação. Quando τ é constante, a

Eq. 10-53 se reduz a

 

A taxa com a qual o trabalho é realizado é a potência, que pode ser calculada

usando uma equação equivalente à Eq. 10-51,

 

A Tabela 10-3 mostra as equações que descrevem o movimento de translação de um corpo rígido e as equações correspondentes para o movimento de rotação.

Demonstração das Eqs. 10-52 a 10-55

Vamos considerar novamente a situação da Fig. 10-17, na qual uma força faz girar um corpo rígido composto por uma partícula de massa m presa à extremidade de uma barra, de massa desprezível. Durante a rotação, a força realiza trabalho sobre o corpo. Vamos supor que a única energia do corpo que varia é a energia cinética. Nesse caso, podemos aplicar o teorema do trabalho e

energia cinética da Eq. 10-49:

 

Tabela 10-3 Algumas Correspondências entre os Movimentos de Translação e Rotação

 

Translação Pura (Direção Rotação Pura (Eixo Fixo)

Fixa)

 

Posição x Posição θ

angular

Velocidade v = Velocidade ω =

dx/dt angular dθ/dt

 

Aceleração a = Aceleração α =

dv/dt angular dω/dt

 

Massa m Momento de I

inércia

 

Segunda lei F Segunda lei τ = res res de Newton de Newton = ma Iα

 

Trabalho W = Trabalho W = ∫

∫ F τdθ

dx

 

Energia K = Energia K = cinética mv2 cinética Iω2

 

Potência P = Potência P = (força Fv (torque τω constante) constante)

 

Teorema do W = Teorema do W = trabalho e ΔK trabalho e ΔK energia energia cinética cinética

Usando a relação K = mv2 e a Eq. 10-18 (v = ωr), podemos escrever a Eq. 10-

 

56 na forma

 

De acordo com a Eq. 10-33, o momento de inércia do corpo é I = mr2.

Substituindo esse valor na Eq. 10-57, obtemos

 

que é a Eq. 10-52. Demonstramos essa equação para uma partícula, mas a mesma equação é válida para qualquer corpo rígido em rotação em torno de um eixo fixo.

Vamos agora relacionar o trabalho W realizado sobre o corpo da Fig. 10-17

ao torque τ exercido sobre o corpo pela força . Quando a partícula se desloca de uma distância ds ao longo da trajetória circular, apenas a componente

tangencial F da força acelera a partícula ao longo da trajetória. Assim, apenas t

F realiza trabalho sobre a partícula. Esse trabalho dW pode ser escrito como F tt ds. Entretanto, podemos substituir ds por r dθ, em que dθ é o ângulo descrito pela partícula. Temos, portanto,

 

De acordo com a Eq. 10-40, o produto F r é igual ao torque τ, de modo que t

podemos escrever a Eq. 10-58 na forma

 

O trabalho realizado em um deslocamento angular finito de θ para θ é, i f portanto,

 

que é a Eq. 10-53, válida para qualquer corpo rígido em rotação em torno de

um eixo fixo. A Eq. 10-54 é uma consequência direta da Eq. 10-53.

Podemos calcular a potência P desenvolvida por um corpo em um

movimento de rotação a partir da Eq. 10-59:

 

que é a Eq. 10-55.

 

Exemplo 10.11 Trabalho, energia cinética

de rotação, torque, disco

Suponha que o disco da Fig. 10-19 parte do repouso no instante t = 0, que a tração da corda, de massa desprezível, é 6,0 N, e que a aceleração angular do disco é −24 rad/s2. Qual é a energia cinética de rotação K no instante t = 2,5 s?

 

IDEIA-CHAVE

Podemos calcular K usando a Eq. 10-34 (K = Iω2). Já sabemos que I = MR2, mas ainda não conhecemos o valor de ω no instante t = 2,5 s. Entretanto, como a aceleração angular α tem o valor constante de −24 rad/s2, podemos aplicar as equações para aceleração angular

constante na Tabela 10-1.

 

Cálculos: Como estamos interessados em determinar ω e

conhecemos α e ω (= 0), usamos a Eq. 10-12: 0

 

ω = ω + αt = 0 + αt = αt. 0

 

Fazendo ω = α t e I = MR2 na Eq. 10-34, obtemos

 

IDEIA-CHAVE