Precessão de um Giroscópio

11-9 PRECESSÃO DE UM GIROSCÓPIO

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

11.26 Saber que a ação da força gravitacional sobre um giroscópio em rotação faz com que o vetor

momento angular (e o próprio giroscópio) gire em torno do eixo vertical, um movimento conhecido como precessão.

11.27 Calcular a taxa de precessão de um giroscópio.

11.28 Saber que a taxa de precessão de um giroscópio não depende da massa do giroscópio.

Ideia-Chave

• A taxa de precessão de um giroscópio em rotação é dada por

em que M é a massa do giroscópio, r é o braço de alavanca, I é o momento de inércia e ω é a velocidade angular.

Precessão de um Giroscópio

Um giroscópio simples é formado por uma roda fixada a um eixo e livre para girar em torno do eixo. Se uma das extremidades do eixo de um giroscópio

estacionário é apoiada em um suporte, como na Fig. 11-22a, e o giroscópio é liberado, o giroscópio cai, girando para baixo em torno da extremidade do suporte. Como a queda envolve uma rotação, é governada pela segunda lei de

Newton para rotações, dada pela Eq. 11-29:

De acordo com a Eq. (11-41), o torque que causa a rotação para baixo (a queda) faz variar o momento angular do giroscópio a partir do valor inicial, que é zero. O torque é produzido pela força gravitacional M sobre o centro de massa do giroscópio, que tomamos como o centro da roda. O braço de

alavanca em relação à extremidade do suporte, situada no ponto O da Fig. 11-

22a, é . O módulo de é

(já que o ângulo entre M e é 90°) e o sentido é o que aparece na Fig. 11-

22a.

Um giroscópio que gira rapidamente se comporta de outra forma. Suponha

que o giroscópio seja liberado com o eixo ligeiramente inclinado para cima. Nesse caso, começa a cair, girando em torno de um eixo horizontal que passa por O, mas, em seguida, com a roda ainda girando em torno do eixo, passa a girar horizontalmente em torno de um eixo vertical que passa pelo ponto O, um movimento que é chamado de precessão.

Por que o Giroscópio Não Cai? Por que o giroscópio em rotação

permanece suspenso em vez de cair, como o giroscópio estacionário? Isso acontece porque, quando o giroscópio em rotação é liberado, o torque produzido pela força gravitacional, M , faz variar, não um momento angular inicialmente nulo, mas um momento angular já existente, graças à rotação da roda.

Para entender por que esse momento angular inicial leva à precessão,

considere o momento angular do giroscópio devido à rotação da roda. Para simplificar a situação, suponha que a rotação é tão rápida que o momento angular devido à precessão é desprezível em relação a . Suponha também que o eixo do giroscópio está na horizontal quando a precessão começa, como

na Fig. 11-22b. O módulo de é dado pela Eq. 11-31:

em que I é o momento de inércia do giroscópio em relação ao eixo e ω é a velocidade angular da roda. O vetor aponta ao longo do suporte, como na

Fig. 11-22b. Como é paralelo a , o torque é perpendicular a .

De acordo com a Eq. 11-41, o torque causa uma variação incremental d

do momento angular do giroscópio em um intervalo de tempo incremental dt, ou seja,

Entretanto, no caso de um giroscópio que gira rapidamente, o módulo de é

fixado pela Eq. 11-43. Assim, o torque pode mudar a orientação de , mas não o módulo.

Figura 11-22 (a) Um giroscópio parado gira em um plano xz devido ao torque produzido pela força gravitacional. (b) Um giroscópio que gira rapidamente com momento angular executa um movimento de precessão em torno do eixo z. O movimento de precessão acontece no plano xy. (c) A variação d /dt do momento angular leva a uma rotação de em torno do ponto O.

De acordo com a Eq. 11-44, a orientação de d é a mesma de ,

perpendicular a . A única maneira pela qual pode variar na direção de

sem que o módulo L seja alterado é girar em torno do eixo z, como na Fig. 11-

22c. Assim, conserva o módulo, a extremidade do vetor descreve uma trajetória circular e é sempre tangente a essa trajetória. Como tem de apontar na direção do eixo da roda, o eixo tem de girar em torno do eixo z na direção de . Essa é a origem da precessão. Como o giroscópio em rotação precisa obedecer à segunda lei de Newton para rotações em resposta a qualquer mudança do momento angular inicial, ele precisa realizar uma precessão em vez de simplesmente tombar.

Precessão. Podemos calcular a taxa de precessão Ω usando primeiro as

Eqs. 11-44 e 11-42 para obter o módulo de d :

Quando varia de um valor incremental durante um tempo incremental dt, o

eixo e precessam em torno do eixo z de um ângulo incremental dϕ. (Na Fig.

11-22c, o ângulo dϕ foi exagerado para maior clareza.) Com a ajuda das Eqs.

11-43 e 11-45, descobrimos que dϕ é dado por

Dividindo essa expressão por dt e fazendo a taxa de precessão Ω igual a dϕ/dt, obtemos

Esse resultado é válido contanto que a velocidade angular ω seja elevada. Note que Ω diminui quando ω aumenta. Observe também que não haveria precessão se a força gravitacional M não agisse sobre o giroscópio; entretanto, como I é uma função linear de M, as massas no numerador e