Revisão do Torque

= ×

em que é uma força aplicada a uma partícula e é o vetor posição da partícula em relação ao ponto fixo. • O módulo de é dado por

τ = rF sen φ = rF = r F, ⊥ ⊥

em que ϕ é o ângulo entre e , F é a componente de perpendicular a e r é o braço de alavanca de . ┴ ┴ • A orientação de é dada pela regra da mão direita para produtos vetoriais.

Revisão do Torque

No Capítulo 10, definimos o torque τ de um corpo rígido capaz de girar em torno de um eixo fixo, com todas as partículas do corpo forçadas a se mover em trajetórias circulares com centro nesse eixo. Agora, vamos ampliar a definição de torque para aplicá-la a uma partícula que se move em uma trajetória qualquer em relação a um ponto fixo (em vez de um eixo fixo). A trajetória não precisa mais ser circular, e devemos escrever o torque como um vetor que pode ter qualquer orientação. Podemos calcular o módulo desse vetor usando uma expressão matemática e determinar a orientação desse vetor usando a regra da mão direita para produtos vetoriais.

Figura 11-10 Definição do torque. (a) Uma força , no plano xy, age sobre uma partícula situada no ponto A. (b) A força produz um torque (= × ) sobre a partícula em relação à origem O. De acordo com a regra da mão direita para o produto vetorial, o vetor torque aponta no sentido positivo do eixo z. O módulo do vetor é dado por rF em (b) e por r F em (c). ⊥ ⊥

A Fig. 11-10a mostra uma partícula no ponto A de um plano xy. Uma única força

nesse plano age sobre a partícula, e a posição da partícula em relação à origem O é dada pelo vetor posição . O torque que age sobre a partícula em relação ao ponto fixo O é uma grandeza vetorial definida por

Podemos calcular o produto vetorial envolvido na definição de usando as regras

do produto vetorial que aparecem no Módulo 3-3. Para determinar a orientação de , deslocamos o vetor (sem mudar a orientação) até que a origem do vetor esteja no ponto O, o que faz coincidirem as origens dos dois vetores envolvidos no produto

vetorial, como na Fig. 11-10b. Em seguida, usamos a regra da mão direita para os

produtos vetoriais da Fig. 3-19a, envolvendo com os dedos da mão direita o vetor (o primeiro vetor no produto), com as pontas dos dedos apontando para (o segundo

vetor). O polegar direito, esticado, mostra a orientação de . Na Fig. 11-10b, a orientação de é o sentido positivo do eixo z.

Para determinar o módulo de , aplicamos a expressão geral da Eq. 3-27 (c = ab

sen ϕ), que nos dá

em que ϕ é o menor dos ângulos entre e quando as origens dos vetores coincidem.

De acordo com a Fig. 11-10b, a Eq. 11-15 pode ser escrita na forma

em que F (= F sen ϕ) é a componente de perpendicular a . De acordo com a Fig. ⊥

11-10c, a Eq. 11-15 também pode ser escrita na forma

em que r (= r sen ϕ) é o braço de alavanca de (a distância perpendicular entre o ⊥

ponto O e a linha de ação de ).

Teste 3

O vetor posição de uma partícula aponta no sentido positivo de um eixo z. Se o torque a que a partícula está submetida (a) é zero, (b) aponta no sentido negativo de x, e (c) aponta no sentido negativo de y, qual é a orientação da força responsável pelo torque?

Exemplo 11.02 Torque exercido por uma força

sobre uma partícula

Na Fig. 11-11a, três forças, todas de módulo 2,0 N, agem sobre uma partícula. A partícula está no plano xy, em um ponto A, dado por um vetor posição tal que r = 3,0 m e θ = 30º. Qual é o torque, em relação à origem O, produzido por cada uma das três forças?

IDEIA-CHAVE

Como os três vetores das forças não estão no mesmo plano, não podemos

calcular os torques como no Capítulo 10. Em vez disso, devemos usar

produtos vetoriais, com módulos dados pela Eq. 11-15 (τ = rF sen ϕ) e orientações dadas pela regra da mão direita para produtos vetoriais.

Cálculos: Como estamos interessados em calcular os torques em relação à origem O, o vetor usado para calcular os produtos vetoriais é o próprio vetor posição que aparece no enunciado do problema. Para determinar o ângulo ϕ entre a orientação de e a orientação de cada força, deslocamos os

vetores força da Fig. 11-11a, um de cada vez, para que a origem coincida com o ponto O. As Figs. 11-11b, 11-11c e 11.11d, que são vistas diretas do plano xz, mostram os vetores força deslocados , e , respectivamente. 1 2 3

(Observe como isso torna muito mais fácil visualizar os ângulos.) Na Fig.

11-11d, o ângulo entre as orientações de e é 90° e o símbolo ⊗ 3 significa que o sentido de é para dentro do papel. (Se o sentido da força 3

fosse para fora do papel, ela seria representada pelo símbolo ⊙.)

Aplicando a Eq. 11-15 a cada força, obtemos os módulos dos torques:

Para determinar a orientação desses torques, usamos a regra da mão

direita, posicionando os dedos da mão direita em volta de de modo a que apontem para na direção do menor dos ângulos entre os dois vetores. O polegar aponta na direção do torque. Assim, aponta para dentro do papel 1

na Fig. 11-11b; aponta para fora do papel na Fig. 11-11c; tem a 2 3

orientação mostrada na Fig. 11-11d. Os três vetores torque são mostrados na

Fig. 11-11e.