Revisão e Resumo

Também podemos obter essa resposta calculando a energia cinética do disco a partir do trabalho realizado sobre o disco.

 

Cálculos: Primeiro, relacionamos a variação da energia cinética do disco ao trabalho total W realizado sobre o disco, utilizando o

teorema do trabalho e energia cinética (K – K = W). Substituindo K f if

por K e K por 0, obtemos i

 

Em seguida, precisamos calcular o trabalho W. Podemos relacionar

W aos torques que atuam sobre o disco usando a Eq. 10-53 ou a Eq.

10-54. O único torque que produz aceleração angular e realiza trabalho é o torque que a corda exerce sobre o disco, que é igual a −TR. Como α é constante, o torque também é constante. Assim,

podemos usar a Eq. 10-54 para escrever

 

Como α é constante, podemos usar a Eq. 10-13 para calcular θ − θ . f i

Com ω = 0, temos: i

 

Podemos substituir esse valor na Eq. 10-61 e substituir o resultado

na Eq. 10-60. Com T = 6,0 N e α = −24 rad/s2, temos:

 

Revisão e Resumo

Posição Angular Para descrever a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo, chamado eixo de rotação, supomos que uma reta de referência está fixa no corpo, perpendicular ao eixo e girando com o corpo. Medimos a posição angular θ da reta em relação a uma direção fixa. Se θ for medido em radianos,

 

em que s é o comprimento de um arco de circunferência de raio r e ângulo θ. A relação entre um ângulo em revoluções, um ângulo em graus e um ângulo em radianos é a seguinte:

 

Deslocamento Angular Um corpo que gira em torno de um eixo de rotação,

mudando de posição angular de θ para θ , sofre um deslocamento angular 1 2

 

em que ∆θ é positivo para rotações no sentido anti-horário e negativo para rotações no sentido horário.

Velocidade Angular Se um corpo sofre um deslocamento angular ∆θ em um

intervalo de tempo ∆t, a velocidade angular média do corpo, ω , é méd

 

A velocidade angular (instantânea) ω do corpo é

 

Tanto ω como ω são vetores, cuja orientação é dada pela regra da mão méd

direita da Fig. 10-6. O módulo da velocidade angular do corpo é a velocidade angular escalar.

Aceleração Angular Se a velocidade angular de um corpo varia de ω para ω 12

em um intervalo de tempo Δt = t − t , a aceleração angular média α do 2 1 méd

corpo é

A aceleração angular (instantânea) α do corpo é

 

Tanto α como α são vetores. méd

Equações Cinemáticas para Aceleração Angular Constante O movimento com aceleração angular constante (α = constante) é um caso especial importante de movimento de rotação. As equações cinemáticas apropriadas,

que aparecem na Tabela 10-1, são

 

Relações entre as Variáveis Lineares e Angulares Um ponto de um corpo rígido em rotação, a uma distância perpendicular r do eixo de rotação, descreve uma circunferência de raio r. Se o corpo gira de um ângulo θ, o ponto descreve um arco de circunferência de comprimento s dado por

 

em que θ está em radianos.

A velocidade linear do ponto é tangente à circunferência; a velocidade

linear escalar v do ponto é dada por

 

em que ω é a velocidade angular escalar do corpo em radianos por segundo.

A aceleração linear do ponto tem uma componente tangencial e uma

componente radial. A componente tangencial é

em que α é o módulo da aceleração angular do corpo em radianos por segundo ao quadrado. A componente radial de é

 

 

No caso do movimento circular uniforme, o período T do movimento do ponto e do corpo é

 

Energia Cinética de Rotação e Momento de Inércia A energia cinética K de um corpo rígido em rotação em torno de um eixo fixo é dada por

 

em que I é o momento de inércia do corpo, definido por

 

para um sistema de partículas discretas e por

 

para um corpo com uma distribuição contínua de massa. Nessas expressões, r e i r representam a distância perpendicular do eixo de rotação a cada partícula e a cada elemento de massa, respectivamente, e o somatório e a integração se estendem a todo o corpo, de modo a incluir todas as partículas e todos os elementos de massa.

Teorema dos Eixos Paralelos O teorema dos eixos paralelos relaciona o momento de inércia I de um corpo em relação a qualquer eixo ao momento de inércia do mesmo corpo em relação a um eixo paralelo ao primeiro passando pelo centro de massa:

Aqui, h é a distância perpendicular entre os dois eixos, e I é o momento de CM

inércia do corpo em relação ao eixo que passa pelo centro de massa. Podemos definir h como o deslocamento do eixo de rotação em relação ao eixo de rotação que passa pelo centro de massa.

Torque Torque é uma ação de girar ou de torcer um corpo em torno de um eixo de rotação, produzida por uma força . Se é exercida em um ponto dado pelo vetor posição em relação ao eixo, o módulo do torque é

 

em que F é a componente de perpendicular a , e ϕ é o ângulo entre e . A t

grandeza r é a distância perpendicular entre o eixo de rotação e a reta que ⊥

coincide com o vetor . Essa reta é chamada de linha de ação de , e r é ⊥ chamada de braço de alavanca de . Da mesma forma, r é o braço de alavanca

de F . t

A unidade de torque do SI é o newton-metro (N·m). O torque τ é positivo, se

tende a fazer um corpo inicialmente em repouso girar no sentido anti-horário, e negativo, se tende a fazer o corpo girar no sentido horário.

Segunda Lei de Newton para Rotações A segunda lei de Newton para rotações é

 

em que τ é o torque resultante que age sobre a partícula ou corpo rígido, I é o res

momento de inércia da partícula ou do corpo em relação ao eixo de rotação, e α é a aceleração angular do movimento de rotação em torno do eixo.

Trabalho e Energia Cinética de Rotação As equações usadas para calcular trabalho e potência para movimentos de rotação são análogas às usadas para movimentos de translação:

 

Se τ for constante, a Eq. 10-53 se reduz a