Colisões Elásticas em Uma Dimensão

9-7 COLISÕES ELÁSTICAS EM UMA

 

DIMENSÃO

 

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...

9.32 No caso de colisões elásticas de dois corpos em uma dimensão, aplicar as leis de conservação da

energia e do momento para relacionar os valores iniciais e os valores finais da velocidade dos corpos.

9.33 No caso de um projétil que colide com um alvo estacionário, analisar o movimento resultante

para três casos possíveis: massas iguais, massa do alvo muito maior que a massa do projétil, e massa do projétil muito maior que a massa do alvo.

 

Ideia-Chave

• Uma colisão elástica é um tipo especial de colisão em que a energia cinética dos corpos que colidem é conservada. Se o sistema é fechado e isolado, o momento linear também é conservado. No caso de uma colisão unidimensional na qual o corpo 1 é o projétil e o corpo 2 é o alvo, a conservação da energia cinética e do momento linear fornecem as seguintes expressões para a velocidade dos dois corpos imediatamente após a colisão:

 

Colisões Elásticas em Uma Dimensão

Como comentamos no Módulo 9-6, as colisões que acontecem no dia a dia são inelásticas, mas podemos supor que algumas são aproximadamente elásticas, ou seja, que a energia cinética total dos corpos envolvidos na colisão não é convertida em outras formas de energia e, portanto, é conservada:

Isso não significa que a energia dos corpos envolvidos na colisão não varia:

 

Nas colisões elásticas, a energia cinética dos corpos envolvidos na colisão pode variar, mas a energia cinética total do sistema permanece a mesma.

 

Assim, por exemplo, a colisão da bola branca com uma bola colorida no

jogo de sinuca pode ser considerada aproximadamente elástica. Se a colisão é frontal (ou seja, se a bola branca incide em cheio na outra bola), a energia cinética da bola branca pode ser transferida quase inteiramente para a outra bola. (Entretanto, o fato de que a colisão produz ruído significa que pelo menos uma pequena parte da energia cinética é transferida para a energia sonora.)

 

Alvo Estacionário

A Fig. 9-18 mostra dois corpos antes e depois de uma colisão unidimensional, como uma colisão frontal de bolas de sinuca. Um projétil,

de massa m e velocidade inicial v , se move em direção a um alvo de 1 1i

massa m que está inicialmente em repouso (v = 0). Vamos supor que esse 2 2i sistema de dois corpos é fechado e isolado. Isso significa que o momento

linear total do sistema é conservado e, de acordo com a Eq. 9-51, temos:

 

Se a colisão é elástica, a energia cinética total também é conservada e podemos expressar esse fato por meio da equação

Figura 9-18 O corpo 1 se move ao longo de um eixo x antes de sofrer uma colisão elástica com o corpo 2, que está inicialmente em repouso. Os dois corpos se movem ao longo do eixo x após a colisão.

 

 

Nas duas equações, o índice i indica a velocidade inicial, e o subscrito f indica a velocidade final dos corpos. Se conhecemos as massas dos corpos e

também conhecemos v , a velocidade inicial do corpo 1, as únicas 1i

grandezas desconhecidas são v e v , as velocidades finais dos dois corpos. 1f 2f Com duas equações à disposição, podemos calcular o valor das incógnitas.

Para isso, escrevemos a Eq. 9-63 na forma

 

e a Eq. 9-64 na forma*

 

Dividindo a Eq. 9-66 pela Eq. 9-65 e reagrupando os termos, obtemos

De acordo com a Eq. 9-68, v é sempre positiva (o alvo, inicialmente 2f

parado, de massa m , sempre se move para a frente). De acordo com a Eq. 2

9-67, v pode ser positiva ou negativa (o projétil se move para a frente, se 1f

m > m , e ricocheteia, se m < m ). 1 2 1 2

Vamos examinar algumas situações especiais.

 

1. Massas iguais Se m = m , as Eqs. 9-67 e 9-68 se reduzem a 1 2

 

v = 0 e v = v , 1f 2f 1i

 

que poderíamos chamar de resultado da sinuca. Depois de uma colisão elástica frontal de corpos de massas iguais, o corpo 1 (inicialmente em movimento) para totalmente, e o corpo 2 (inicialmente em repouso) entra em movimento com a velocidade inicial do corpo 1. Em colisões elásticas frontais, corpos de massas iguais simplesmente trocam de velocidade. Isso acontece, mesmo que o corpo 2 não esteja inicialmente em repouso.

 

2. Alvo pesado Na Fig. 9-18, um alvo pesado significa que m ≫ 2

m . Esse seria o caso, por exemplo, de uma bola de tênis lançada 1

contra uma bola de boliche em repouso. Nessa situação, as Eqs.

9-67 e 9-68 se reduzem a

 

A conclusão é que o corpo 1 (a bola de tênis) ricocheteia e refaz a trajetória no sentido inverso, com a velocidade escalar praticamente inalterada. O corpo 2 (a bola de boliche), inicialmente em repouso, move-se para a frente em baixa

velocidade, pois o fator entre parênteses na Eq. 9-69 é muito menor do que 1. Tudo isso está dentro do esperado.

 

3. Projétil pesado Esse é o caso oposto, no qual m ≫ m . Dessa 1 2 vez, uma bola de boliche é lançada contra uma bola de tênis em

repouso. As Eqs. 9-67 e 9-68 se reduzem a

 

De acordo com a Eq. 9-70, o corpo 1 (a bola de boliche) simplesmente mantém a trajetória, praticamente sem ser freado pela colisão. O corpo 2 (a bola de tênis) é arremessado para a frente com o dobro da velocidade da bola de boliche. O leitor deve estar se perguntando: Por que o dobro da velocidade? Para

compreender a razão, lembre-se da colisão descrita pela Eq. 9-69, na qual a velocidade do corpo leve incidente (a bola de tênis) mudou de +v para −v, ou seja, a velocidade sofreu uma variação de 2v. A mesma variação de velocidade (agora de 0 para 2v) acontece neste exemplo.

 

Figura 9-19 Dois corpos prestes a sofrer uma colisão elástica unidimensional.

 

Alvo em Movimento

Agora que examinamos a colisão elástica de um projétil com um alvo em repouso, vamos analisar a situação na qual os dois corpos estão em movimento antes de sofrerem uma colisão elástica.

Para a situação da Fig. 9-19, a conservação do momento linear pode ser

escrita na forma

 

e a conservação da energia cinética na forma

 

Para resolver este sistema de equações e obter os valores de v e v , 1f 2f

primeiro escrevemos a Eq. 9-71 na forma

 

e a Eq. 9-72 na forma

 

Dividindo a Eq. 9-74 pela Eq. 9-73 e reagrupando os termos, obtemos

 

Note que a correspondência entre os índices 1 e 2 e os dois corpos é

arbitrária. Se trocarmos os índices na Fig. 9-19 e nas Eqs. 9-75 e 9-76, acabaremos com o mesmo sistema de equações. Note também que, se

fizermos v = 0, o corpo 2 se tornará um alvo estacionário, como na Fig. 9-2i

18, e as Eqs. 9-75 e 9-76 se reduzirão às Eqs. 9-67 e 9-68, respectivamente.

 

Teste 8

Qual é o momento linear final do alvo da Fig. 9-18 se o momento linear inicial do projétil é 6 kg · m/s e o momento linear final do projétil é (a) 2 kg · m/s e (b) −2 kg · m/s? (c) Qual é a energia

cinética final do alvo se as energias cinéticas inicial e final do projétil são, respectivamente, 5 J e 2 J?

 

Exemplo 9.08 Duas colisões elásticas

 

sucessivas

Na Fig. 9-20a, o bloco 1 se aproxima de dois blocos estacionários

a uma velocidade v = 10 m/s. Ele colide com o bloco 2, que, por 1i

sua vez, colide com o bloco 3, cuja massa é m = 6,0 kg. Depois 3 da segunda colisão, o bloco 2 fica novamente estacionário e o

bloco 3 adquire uma velocidade v = 5,0 m/s (Fig. 9-20b). 3f Suponha que as colisões são elásticas. Qual é a massa dos blocos

1 e 2? Qual é a velocidade final v do bloco 1? 1f

 

IDEIAS-CHAVE

Como estamos supondo que as colisões são elásticas, a energia mecânica é conservada (ou seja, as perdas de energia para o som, calor e oscilações dos blocos são desprezíveis). Como não existem forças horizontais externas agindo sobre os blocos, o momento linear ao longo do eixo x é conservado. Por essas duas

razões, podemos aplicar as Eqs. 9-67 e 9-68 às duas colisões.

 

Figura 9-20 O bloco 1 colide com o bloco estacionário 2, que, por sua vez, colide com o bloco estacionário 3.

Cálculos: Se começarmos pela primeira colisão, teremos um número excessivo de incógnitas, já que não conhecemos nem a massa nem a velocidade final dos blocos envolvidos. Por esse motivo, vamos começar pela segunda colisão, na qual o bloco 2 permanece em repouso depois de colidir com o bloco 3.

Aplicando a Eq. 9-67 a essa colisão, com mudanças de notação, obtemos

 

em que v é a velocidade do bloco 2 imediatamente antes da 2i

colisão, e v é a velocidade do bloco 2 imediatamente após a 2f

colisão. Fazendo v = 0 (o bloco 2 permanece em repouso após a 2f

colisão) e m = 6,0 kg, obtemos 3

 

Com mudanças adequadas de notação, a Eq. 9-68 para a segunda colisão se torna

 

em que v é a velocidade final do bloco 3. Fazendo m = m = 6 3f 2 3

kg e v = 5,0 m/s, obtemos 3f

 

v = v = 5,0 m/s 2i 3f

 

Vamos agora analisar a primeira colisão, mas temos de tomar

cuidado com a notação do bloco 2: a velocidade v imediatamente 2f

após a primeira colisão é igual à velocidade v (= 5,0 2i

m/s)imediatamente antes da segunda colisão. Aplicando a Eq. 9-

68 à primeira colisão e fazendo v = 10 m/s, obtemos 1i