Média e Velocidade Escalar Média

Uma forma compacta de descrever a posição de um objeto é desenhar um gráfico da posição x em função do tempo t, ou seja, um gráfico de x(t). [A notação x(t) representa uma função x de t e não o produto de x por t.] Como

exemplo simples, a Fig. 2-2 mostra a função posição x(t) de um tatu em repouso (tratado como uma partícula) durante um intervalo de tempo de 7 s. A posição do animal tem sempre o mesmo valor, x = −2 m.

A Fig. 2-3 é mais interessante, já que envolve movimento. O tatu é avistado

em t = 0, quando está na posição x = −5 m. Ele se move em direção a x = 0, passa por esse ponto em t = 3 s e continua a se deslocar para maiores valores

positivos de x. A Fig. 2-3 mostra também o movimento do tatu por meio de

desenhos das posições do animal em três instantes de tempo. O gráfico da Fig.

2-3 é mais abstrato, mas revela com que rapidez o tatu se move.

 

Figura 2-3 Gráfico de x(t) para um tatu em movimento. Posições sucessivas do tatu também são mostradas para três instantes de tempo.

 

Na verdade, várias grandezas estão associadas à expressão “com que

rapidez”. Uma é a velocidade média v , que é a razão entre o deslocamento méd

Δx e o intervalo de tempo Δt durante o qual esse deslocamento ocorreu:

 

A notação indica que a posição é x no instante t e x no instante t . A unidade 1 1 2 2

de v no SI é o metro por segundo (m/s). Outras unidades são usadas neste méd

livro, mas todas têm a forma de comprimento/tempo.

Gráficos. Em um gráfico de x em função de t, v é a inclinação da reta que méd

liga dois pontos da curva x(t): um dos pontos corresponde a x e t , e o outro 2 2

corresponde a x e t . Da mesma forma que o deslocamento, v possui um 1 1 méd

módulo e uma orientação (também é uma grandeza vetorial). O módulo é valor

absoluto da inclinação da reta. Um valor positivo de v (e da inclinação) méd

significa que a reta está inclinada para cima, da esquerda para a direita; um

valor negativo de v (e da inclinação) significa que a reta está inclinada para méd

baixo, da esquerda para a direita. A velocidade média v tem sempre o mesmo méd

sinal do deslocamento Δx porque Δt na Eq. 2-2 é sempre positivo.

A Fig. 2-4 mostra como determinar v na Fig. 2-3 para o intervalo de tempo méd

de t = 1 s a t = 4 s. Traçamos a linha reta que une os pontos correspondentes ao início e ao final do intervalo de tempo considerado. Em seguida, calculamos a inclinação Δx/Δt da linha reta. Para o intervalo de tempo dado, a velocidade média é

 

A velocidade escalar média s é uma forma diferente de descrever “com méd

que rapidez” uma partícula está se movendo. Enquanto a velocidade média envolve o deslocamento da partícula, Δx, a velocidade escalar média é definida em termos da distância total percorrida (o número de metros percorridos, por exemplo), independentemente da direção. Assim,

 

Como velocidade escalar média não depende da orientação do movimento, ela

é sempre positiva. Em alguns casos, s é igual a v . Entretanto, como é méd méd

mostrado no Exemplo 2.01, as duas velocidades podem ser bem diferentes.

Figura 2-4 Cálculo da velocidade média entre t = 1 s e t = 4 s como a inclinação da reta que une os pontos da curva x(t) que correspondem a esses tempos.

 

Exemplo 2.01 Velocidade média de um

carro velho

Depois de dirigir um carro em uma estrada retilínea por 8,4 km a 70 km/h, você para por falta de gasolina. Nos 30 minutos seguintes, você caminha mais 2,0 km ao longo da estrada até chegar a um posto de gasolina.

(a) Qual foi o seu deslocamento total, do início da viagem até chegar ao posto de gasolina?

 

IDEIA-CHAVE

Suponha, por conveniência, que você se move no sentido positivo do

eixo x, da posição inicial, x = 0, até a posição final, x , no posto de 1 2

gasolina. A segunda posição é dada por x = 8,4 km + 2,0 km = 10,4 2 km. O deslocamento Δx ao longo do eixo x é a diferença entre a segunda posição e a primeira.

 

Cálculo: De acordo com a Eq. 2-1, temos:

 

Assim, o deslocamento total é 10,4 km no sentido positivo do eixo x. (b) Qual é o intervalo de tempo Δt entre o início da viagem e o instante em que você chega ao posto?

IDEIA-CHAVE

Já sabemos quanto tempo você passou caminhando, Δt (0,50 h), cam

mas não sabemos quanto tempo você passou dirigindo, Δt . dir Sabemos, porém, que você viajou 8,4 km de carro a uma velocidade

média v = 70 km/h. Essa velocidade média é igual à razão entre o méd,dir

deslocamento do carro e o intervalo de tempo correspondente ao deslocamento.

 

Cálculos: Em primeiro lugar, sabemos que

 

Explicitando Δt e substituindo os valores conhecidos, obtemos: dir

 

(c) Qual é a velocidade média v do início da viagem até a chegada méd

ao posto de gasolina? Determine a solução numericamente e graficamente.

 

IDEIA-CHAVE

De acordo com a Eq. 2-2, v para todo o percurso é a razão entre o méd deslocamento de 10,4 para todo o percurso e o intervalo de tempo de 0,62 h para todo o percurso.

 

Cálculo: Nesse caso,

 

Para determinar v graficamente, traçamos o gráfico da função x(t), méd

como mostra a Fig. 2-5, em que os pontos de partida e chegada são a

origem e o ponto assinalado como “Posto”. A velocidade média é a

inclinação da reta que une esses pontos, ou seja, v é a razão entre a méd

elevação (Δx = 10,4 km) e o curso (Δt = 0,62 h), o que nos dá v = méd

16,8 km/h.

(d) Suponha que, para encher um bujão de gasolina, pagar e caminhar de volta para o carro, você leva 45 minutos. Qual é a velocidade escalar média do início da viagem até o momento em que você chega de volta ao lugar onde deixou o carro?

 

IDEIA-CHAVE

A velocidade escalar média é a razão entre a distância total percorrida e o tempo gasto para percorrer essa distância.

 

Cálculo: A distância total é 8,4 km + 2,0 km + 2,0 km = 12,4 km. O intervalo de tempo total é 0,12 h + 0,50 h + 0,75 h = 1,37 h. Assim,

de acordo com a Eq. 2-3,