Velocidade Média e Velocidade Instantânea

• O limite de quando Δt tende a zero é a velocidade instantânea (ou, simplesmente, velocidade) : méd

 

 

que, na notação dos vetores unitários, assume a forma

 

= + + , x y z

 

em que ν = dx/dt, ν = dy/dt e ν = dz/dt. x y z

• A orientação da velocidade instantânea de uma partícula é sempre a mesma da tangente à trajetória na posição em que a partícula se encontra no momento.

 

Velocidade Média e Velocidade Instantânea

Se uma partícula se move de um ponto para outro, podemos estar interessados

em saber com que rapidez a partícula está se movendo. Como no Capítulo 2, podemos definir duas grandezas que expressam a “rapidez” de um movimento: velocidade média e velocidade instantânea. No caso de um movimento bidimensional ou tridimensional, porém, devemos considerar essas grandezas como vetores e usar a notação vetorial.

Se uma partícula sofre um deslocamento ∆ em um intervalo de tempo Δt, a

velocidade média é dada por méd

 

Essa equação nos diz que a orientação de (o vetor do lado esquerdo da Eq. méd

4-8) é igual à do deslocamento ∆ (o vetor do lado direito). Usando a Eq. 4-4,

podemos escrever a Eq. 4-8 em termos das componentes vetoriais:

Assim, por exemplo, se uma partícula sofre um deslocamento de (12 m) + (3,0 m) em 2,0 s, a velocidade média durante o movimento é

 

 

Nesse caso, portanto, a velocidade média (uma grandeza vetorial) tem uma

componente de 6,0 m/s em relação ao eixo x e uma componente de 1,5 m/s em relação ao eixo z.

Quando falamos da velocidade de uma partícula, em geral estamos nos

referindo à velocidade instantânea em um dado instante. Essa velocidade é

o valor para o qual tende a velocidade quando o intervalo de tempo Δt méd

tende a zero. Usando a linguagem do cálculo, podemos escrever como a derivada

 

A Fig. 4-3 mostra a trajetória de uma partícula que se move no plano xy.

Quando a partícula se desloca para a direita ao longo da curva, o vetor posição

gira para a direita. Durante o intervalo de tempo Δt, o vetor posição muda de 1

para e o deslocamento da partícula é ∆ . 2

Para determinar a velocidade instantânea da partícula no instante t (instante 1

em que a partícula está na posição 1), reduzimos o intervalo de tempo Δt nas

vizinhanças de t , fazendo-o tender a zero. Com isso, três coisas acontecem: (1) 1

O vetor posição da Fig. 4-3 se aproxima de , fazendo ∆ tender a zero. (2) 2 1

A direção de ∆ /∆ (e, portanto, de ) se aproxima da direção da reta méd

tangente à trajetória da partícula na posição 1. (3) A velocidade média se méd

aproxima da velocidade instantânea no instante t . 1

Figura 4-3 O deslocamento Δ de uma partícula durante um intervalo de tempo Δt, da posição 1, com

vetor posição no instante t , até a posição 2, com vetor posição no instante t . A figura mostra 1 1 2 2 também a tangente à trajetória da partícula na posição 1.

 

No limite Δt → 0, temos → e, o que é mais importante neste contexto méd

, assume a direção da reta tangente. Assim, também assume essa direção:

 

A direção da velocidade instantânea de uma partícula é sempre

tangente à trajetória da partícula na posição da partícula.

 

O resultado é o mesmo em três dimensões: é sempre tangente à trajetória da partícula.

Para escrever a Eq. 4-10 na forma de vetores unitários, usamos a expressão

para dada pela Eq. 4-1:

 

Essa equação pode ser simplificada se a escrevermos como em que as componentes escalares de são

 

Assim, por exemplo, dx/dt é a componente escalar de em relação ao eixo x.

Isso significa que podemos encontrar as componentes escalares de derivando as componentes de .

A Fig. 4-4 mostra o vetor velocidade e as componentes escalares x e y.

Note que é tangente à trajetória da partícula na posição da partícula. Atenção:

Um vetor posição, como os que aparecem nas Figs. 4-1 a 4-3, é uma seta que se estende de um ponto (“aqui”) a outro (“lá”). Entretanto, um vetor velocidade,

como o da Fig. 4-4, não se estende de um ponto a outro. No caso do vetor velocidade, a orientação do vetor mostra a direção instantânea do movimento de uma partícula localizada na origem do vetor, e o comprimento, que representa o módulo da velocidade, pode ser desenhado em qualquer escala.

 

Figura 4-4 A velocidade de uma partícula e as componentes escalares de .

 

Teste 1

A figura mostra uma trajetória circular descrita por uma partícula. Se a velocidade da partícula em um dado instante é = (2 m/s) − (2

m/s) , em qual dos quadrantes a partícula está se movendo nesse instante se o movimento é (a) no sentido horário e (b) no sentido anti-horário? Desenhe na figura para os dois casos.

 

Exemplo 4.02 Velocidade bidimensional:

um coelho correndo

Determine a velocidade no instante t = 15 s do coelho do exemplo anterior.

 

IDEIA-CHAVE

Podemos determinar calculando as derivadas das componentes do vetor posição do coelho.

 

Cálculos: Aplicando à Eq. 4-5 a parte da Eq. 4-12 correspondente a

v , descobrimos que a componente x de é x

 

Em t = 15 s, isso nos dá v = –2,1 m/s. Da mesma forma, aplicando à x

Eq. 4-6 a parte da Eq. 4-12 correspondente a v , descobrimos que a y componente y é

Em t = 15 s, isso nos dá v = –2,5 m/s. Assim, de acordo com a Eq. 4-y

11,

 

que está desenhada na Fig. 4-5, tangente à trajetória do coelho e na direção em que o animal está se movendo em t = 15 s.

Para obter o módulo e o ângulo de , podemos usar uma

calculadora ou escrever, de acordo com a Eq. 3-6,

 

Verificação: O ângulo é –130° ou –130° + 180° = 50°?