Colisão e Impulso

• Se F méd é o módulo médio de (t) durante a colisão, Δt é a duração da colisão, e o movimento é retilíneo; logo, o módulo do impulso é dado por

J = F Δt. méd

• Em uma série contínua de colisões com um alvo fixo de projéteis de massa m e velocidade v, a força média que os projéteis exercem sobre o alvo é dada por

 

em que n/Δt é a taxa com a qual os projéteis colidem com o corpo, e Δv é a variação de velocidade dos projéteis. A força média também pode ser escrita na forma

 

em que Δm/Δt é a taxa mássica das colisões. A variação de velocidade é Δv = –v se os projéteis ficam em repouso depois de cada choque, e Δv = –2v se ricocheteiam com a mesma velocidade escalar.

 

Colisão e Impulso

O momento de um corpo que se comporta como uma partícula permanece constante, a menos que o corpo seja submetido a uma força externa. Para mudar o momento do corpo, podemos, por exemplo, empurrá-lo. Também podemos mudar o momento do corpo de modo mais violento, fazendo-o colidir com um taco de beisebol. Em uma colisão, a força exercida sobre o corpo é de curta duração, tem um módulo elevado e provoca uma mudança brusca do momento do corpo. Colisões ocorrem frequentemente na vida real, mas, antes de discutir situações mais complexas, vamos falar de um tipo simples de colisão em que um corpo que se comporta como uma partícula (um projétil) colide com outro corpo que se comporta como outra partícula (um alvo).

 

Colisão Simples

Suponha que o projétil seja uma bola, e o alvo seja um taco. A colisão dura pouco tempo, mas a força que

age sobre a bola é suficiente para inverter o movimento. A Fig. 9-8 mostra um instantâneo da colisão. A bola sofre a ação de uma força (t) que varia durante a colisão e muda o momento linear da bola. A variação está relacionada à força por meio da segunda lei de Newton, escrita na forma = d /dt. Assim, no intervalo de tempo dt, a variação do momento da bola é dada por

Fhoto de Harold E. Edgerton. © The Harold and Esther Edgerton Family Trust, courtesy de Palm Press, Inc.

A colisão de uma bola com o taco faz com que a bola se deforme.

 

Figura 9-8 A força (t) age sobre uma bola quando a bola e um taco colidem.

Podemos calcular a variação total do momento da bola provocada pela colisão integrando ambos os

membros da Eq. 9-28 de um instante ti imediatamente antes da colisão até um instante tf imediatamente após a colisão:

 

O lado esquerdo da Eq. (9-29) nos dá a variação do momento: f – i = ∆ . O lado direito, que é uma medida tanto da intensidade quanto da duração da força da colisão, é chamado de impulso e representado pelo símbolo :

 

Assim, a variação do momento de um objeto é igual ao impulso exercido sobre o objeto:

A Eq. 9-31 também pode ser escrita na forma

 

 

e, na forma de componentes, como

 

Integração da Força. Se a função (t) for conhecida, podemos calcular (e, portanto, a variação do

momento) integrando a função. Se temos um gráfico de em função do tempo t, podemos obter

calculando a área entre a curva e o eixo t, como na Fig. 9-9a. Em muitas situações, não sabemos como a força varia com o tempo, mas conhecemos o módulo médio F méd da força e a duração Δt (= tf − ti) da colisão. Nesse caso, podemos escrever o módulo do impulso como

 

A Fig. 9-9b mostra a força média em função do tempo. A área sob a curva no gráfico é igual à área sob a

curva da força real na Fig. 9-9a, uma vez que as duas áreas são iguais a J, o módulo do impulso.

Em vez de nos preocuparmos com a bola, poderíamos ter concentrado nossa atenção no taco na Fig. 9-8.

De acordo com a terceira lei de Newton, a força experimentada pelo taco em qualquer instante tem o

mesmo módulo que a força experimentada pela bola, mas o sentido oposto. De acordo com a Eq. 9-30, isso significa que o impulso experimentado pelo taco tem o mesmo módulo que o impulso experimentado pela bola, mas o sentido oposto.

 

Teste 4

Um paraquedista, cujo paraquedas não abriu, cai em um monte de neve e sofre ferimentos leves. Se caísse em um terreno sem neve, o tempo necessário para parar teria sido 10 vezes menor e a colisão seria fatal. A presença da neve aumenta, diminui ou mantém inalterado o valor (a) da variação do momento do paraquedista, (b) do impulso experimentado pelo paraquedista e (c) da força experimentada pelo paraquedista?

Figura 9-9 (a) A curva mostra o módulo da força dependente do tempo F(t) que age sobre a bola na colisão da Fig. 9-8. A área sob a curva é igual ao módulo do impulso sobre a bola durante a colisão. (b) A altura do retângulo representa a força média Fméd que age sobre a bola no intervalo Δt. A área do retângulo é igual à área sob a curva do item (a) e, portanto, também é igual ao módulo do impulso durante a colisão.

 

Colisões em Série

Vamos considerar agora a força experimentada por um corpo ao sofrer uma série de colisões iguais. Imagine, por exemplo, que uma daquelas máquinas de arremessar bolas de tênis tenha sido ajustada para disparar bolas contra uma parede, uma após a outra. Cada colisão produz uma força sobre a parede, mas não é essa força que queremos calcular; o que nos interessa é a força média Fméd a que a parede é submetida durante o bombardeio, ou seja, a força média associada a um grande número de colisões.

Na Fig. 9-10, projéteis igualmente espaçados, de massas iguais m e momentos iguais m , deslocam-se ao

longo de um eixo x e colidem com um alvo fixo. Seja n o número de projéteis que colidem em um intervalo de tempo Δt. Como o movimento é apenas ao longo do eixo x, podemos usar as componentes dos momentos ao longo desse eixo. Assim, cada projétil tem momento inicial mv e sofre uma variação Δp do momento linear por causa da colisão. A variação total do momento linear de n projéteis durante o intervalo Δt é n Δp. O impulso resultante a que é submetido o alvo no intervalo de tempo Δt está orientado ao longo do eixo x e tem o mesmo módulo n Δp que a variação do momento linear, mas o sentido oposto. Podemos escrever essa relação na forma

Figura 9-10 Uma série de projéteis, todos com o mesmo momento linear, colide com um alvo fixo. A força média F exercida sobre o alvo méd

 

aponta para a direita e tem um módulo que depende da taxa com a qual os projéteis colidem com o alvo, ou, alternativamente, da taxa mássica dos projéteis.

 

em que o sinal negativo indica que J e Δp têm sentidos opostos.

Força Média. Combinando as Eq. 9-35 e Eq. 9-36, podemos obter a força média Fméd que age sobre o

alvo durante as colisões:

 

A Eq. 9-37 expressa Fméd em termos de n/Δt, a taxa com a qual os projéteis colidem com o alvo, e Δv, a variação de velocidade dos projéteis.

Variação de Velocidade. Se os projéteis permanecem em repouso após o choque, a variação de

velocidade é dada por

 

em que vi (= v) e vf (= 0) são as velocidades antes e depois da colisão, respectivamente. Se, em vez disso, os projéteis ricocheteiam no alvo e conservam a mesma velocidade escalar, vf = −v e, portanto,

 

No intervalo de tempo Δt, uma quantidade de massa Δm = nm colide com o alvo. Sendo assim, podemos

escrever a Eq. 9-37 na forma

 

A Eq. 9-40 expressa a força média Fméd em termos de Δm/Δt, a taxa com a qual a massa colide com o alvo,

conhecida como taxa mássica. Mais uma vez, podemos substituir Δv pelo resultado da Eq. 9-38 ou 9-39, dependendo do que acontece com os projéteis após as colisões.

 

Teste 5

A figura mostra uma vista superior de uma bola ricocheteando em uma parede vertical sem que a velocidade escalar da bola seja afetada. Considere a variação ∆ do momento linear da bola. (a) Δpx é positiva, negativa ou nula? (b) Δpy é positiva, negativa ou nula? (c) Qual é a orientação de ∆

?

Exemplo 9.04 Colisão de um carro de corrida com um muro

de proteção

A Fig. 9-11a é uma vista superior da trajetória de um carro de corrida ao colidir com um muro de proteção. Antes da colisão, o carro está se movendo com uma velocidade escalar vi = 70 m/s ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 30° com o muro. Após a colisão, está se movendo com uma velocidade escalar vf = 50 m/s ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 10° com o muro. A massa m do piloto é 80 kg. (a) Qual é o impulso a que o piloto é submetido no momento da colisão?

IDEIAS-CHAVE

Podemos tratar o piloto como uma partícula e aplicar os princípios de física discutidos neste

módulo, mas não podemos calcular usando a Eq. 9-30 porque não conhecemos a força (t) que age sobre o piloto durante a colisão. Em outras palavras, não dispomos de uma função, nem de

um gráfico, que permita obter o valor de por integração. Entretanto, podemos usar a Eq. 9-32 ( = f – i) para calcular a partir da variação do momento linear.

 

Cálculos: A Fig. 9-11b mostra o momento do piloto antes da colisão, i (que faz um ângulo de 30o com o semieixo x positivo), e o momento do piloto depois da colisão, f (que faz um ângulo

de −10o com o semieixo x positivo). De acordo com as Eqs. 9-32 e 9-22 ( = m ), podemos escrever

 

Poderíamos calcular o lado direito da Eq. 9-41 diretamente ou com o auxílio de uma calculadora, pois sabemos que m é 80 kg, f tem um módulo de 50 m/s e um ângulo de −10o, e i tem um

módulo de 70 m/s e um ângulo de 30o. Em vez disso, vamos resolver a Eq. 9-41 separando-a em componentes.

Componente x: Para o eixo x, temos:

Jx = m(vfx – vix)

= (80 kg)[(50 m/s) cos(–10°) – (70 m/s) cos

30°]

= –910 kg · m/s.

 

Componente y: Para o eixo y, temos:

Jy = m(vfy – viy)

= (80 kg)[(50 m/s) sen(–10°) – (70 m/s) sen

30°]

= –3495 kg · m/s ≈ –3500 k · m/s.

 

Impulso: O impulso é, portanto,

 

o que significa que o módulo do impulso é

 

O ângulo de é dado por

 

que, de acordo com uma calculadora, é 75,4°. Lembre-se de que o resultado fisicamente correto do arco tangente pode ser o indicado pela calculadora ou o indicado pela calculadora mais 180°.

Para verificar qual dos dois é o resultado correto, podemos desenhar as componentes de (Fig. 9-

11c). Fazendo isso, verificamos que θ é, na verdade, 75,4° + 180° = 255,4°, que também pode ser escrito como

 

(b) A colisão dura 14 ms. Qual é o módulo da força média que o piloto experimenta durante a colisão?

IDEIA-CHAVE

De acordo com a Eq. 9-35 (J = F méd Δt), o módulo Fméd da força média é a razão entre o módulo do impulso, J, e a duração Δt da colisão.

Cálculos: Temos

 

Usando a equação F = ma com m = 80 kg, é fácil mostrar que o módulo da aceleração do piloto durante a colisão é 3,22 × 103 m/s2 = 329g. Uma aceleração tão elevada seria provavelmente fatal.

Normas de Segurança: Os engenheiros mecânicos tentam reduzir os riscos dos pilotos de corrida projetando muros “macios” para que as colisões durem mais tempo. Se a colisão examinada neste exemplo durasse 10 vezes mais tempo e todos os outros parâmetros permanecessem iguais, os módulos da força média e da aceleração média seriam 10 vezes menores e o piloto provavelmente sobreviveria.