1.6 Derivadas parciais

Suponhamos F = (F , F , …, F ) e L = (L , L , …, L ). Deixamos a cargo do leitor 1 2 m 1 2 m provar que F (X) = L se e somente se F (X) = L , para j = 1, 2, …, m. j j

Fica, ainda, a cargo do leitor provar que F será contínua em P se e somente se as suas componentes o forem.

Exercícios 1.5

1. Prove:

2. Sejam G : A ⊂ ℝn → ℝm e F : B ⊂ ℝm → ℝp, com Im G ⊂ B. Suponha G

contínua em P ∈ A e F contínua em G (P). Prove que a composta H (X) = F (G (X)) é contínua em P.

3. Seja F : Ω ⊂ ℝn → ℝm e seja P um ponto de acumulação de Ω. Suponha que

exista M > 0 tal que, para todo X ∈ Ω, || F (X) − L || ≤ M || X − P ||, onde L ∈ ℝm é um vetor fixo. Calcule F (X) e justifique.

4. Suponha que F (X) = L, com L ≠ 0. Prove que existe r > 0 tal que

1.6. DERIVADAS PARCIAIS

Seja 2 F : Ω ⊂ ℝ → ℝm 1 dada por F ( x , y ) = ( F (x, y), F (x, y), …, F (x, y)) e seja 2 m (x0, y0) ∈ Ω. O limite

quando existe, denomina-se derivada parcial de F no ponto (x0, y0), em relação a x. Observe que ① nada mais é do que a derivada, em x 0, da função de uma variável real a valores em ℝm dada por

x ∞ F (x, y0).

Segue, conforme aprendemos no Vol. 2, que ① existirá se e somente se as derivadas

parciais existirem; além disso, se ① existir

Deixamos para o leitor definir e estender o conceito de derivada

parcial para funções de Ω ⊂ ℝn em ℝm.

EXEMPLO 1. Calcule

Solução

EXEMPLO 2. (Interpretação geométrica da derivada parcial para uma transformação de 2 2 2 2 Ω ⊂ ℝ em ℝ .) Seja F : Ω ⊂ ℝ → ℝ e seja (x , y ) um ponto de

0 0

Ω. Consideremos a curva y-constante dada por x → F (x, y ). 0 0

(x , y ) é um vetor tangente a tal curva no ponto F (x , y ). (Veja 7.5 do Vol. 2, 5.ª

0 0 0 0

edição.)

Dizemos que r F : Ω ⊂ ℝ → ℝ , Ω aberto, é de classe C em Ω se F admitir todas n m

as derivadas parciais de ordem r contínuas em Ω. Segue do que vimos na seção anterior que r F será de classe C em Ω se e somente se suas componentes o forem.

Seja F: A ⊂ ℝn → ℝm, onde A é um conjunto qualquer, não necessariamente aberto. Dizemos que r F é de classe C em A se existir uma função G : Ω ⊂ ℝ → ℝ , de classe n m Cr, com Ω aberto e contendo A, tal que, para todo X ∈ A,

F (X) = G (X).

(Observação. É comum referir-se a F como a restrição de G ao conjunto A.)

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