5.6 Coordenadas cilíndricas

2. Calcule o volume do elipsoide

3. Calcule a massa do sólido supondo que a

densidade no ponto (x, y, z) é proporcional à distância deste ponto ao plano xy.

4. Calcule o volume do conjunto

5. Calcule o volume do conjunto

 

5.6. COORDENADAS CILÍNDRICAS

Cada ponto P = (x, y, z) fica determinado pelas suas coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z), onde ρ é o comprimento do vetor = (x, y, 0) e θ o ângulo entre este vetor e o semi-eixo positivo Ox. As coordenadas cartesianas (x, y, z) do ponto P e suas coordenadas cilíndricas relacionam-se do seguinte modo

Observe que ① transforma o paralelepípedo 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ z ≤ h no cilindro 2 2 2 x + y ≤ r e 0 ≤ z ≤ h.

O determinante jacobiano de ① é dado por

 

e, portanto,

 

Em coordenadas cilíndricas temos então

 

EXEMPLO 1. Calcule dx dy dz onde B é o cilindro

x2 2 + y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Solução

Vamos calcular a integral utilizando coordenadas cilíndricas.

 

onde Bρθz é o paralelepípedo

0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ z ≤ 1.

Temos

Por outro lado,

 

 

e

 

e, portanto,

 

Vamos, agora, calcular Fazendo a mudança de variável z = tg θ,

obtemos

 

ou seja,

 

Utilizando a fórmula de recorrência

resulta

 

ou seja,

 

Segue que

 

EXEMPLO 2. Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule o volume do sólido B dado por 2 2 x + y − 2x ≤ 0, 0 ≤ z ≤ x + y, x ≥ 0 e y ≥ 0.

Solução

x2 2 2 2 + y − 2 x ≤ 0 ⇔ ( x − 1) + y ≤ 1.

Façamos então

 

com (ρ, θ, z) ∈ Bρθz, onde Bρθz é dado por 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ z ≤ 1 + ρ cos θ + ρ sen θ. Temos

Por outro lado,

 

 

Portanto,

 

que é o volume do sólido dado.

Observação. Se tivéssemos tomado o polo na origem teríamos

 

Com (ρ, θ, z) ∈ Bρθz onde Bρθz é dado por

Desta forma, o volume será

 

 

EXEMPLO 3. Calcule dx dy dz onde B é dado por

0 ≤ 2 2 y ≤ x , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x + y.

Solução

1.º Processo

 

onde K é o conjunto 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1.

 

Assim,

Mudando para coordenadas polares

 

 

resulta

 

que já foi calculado no Exemplo 1. Portanto,

 

2.º Processo (Utilizando coordenadas cilíndricas)

 

onde Bρθz é dado por