Respostas, Sugestões ou Soluções

RESPOSTAS, SUGESTÕES OU

SOLUÇÕES

 

CAPÍTULO 1

1.1

1.

 

2. a)

 

b)

 

4. A cada ponto (u, v) do plano uv, f associa o ponto (x, y, z) onde

A imagem da transformação acima é o plano x − y − z = 0. Portanto, f transforma o plano uv no plano x − y − z = 0.

 

5.

 

6. c)

 

8. 2 2 A imagem é a superfície cilíndrica x + y = 1, 0 = ≤ z ≤ 1.

9. 2 2 2 É a semissuperfície esférica x + y + z = 1, z ≥ 0.

11.

 

12. 2 2 É o cilindro x + y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

15. 2 2 2 a ) σ ( B ) é a superfície esférica x + y + z =

b 2 2 2 ) σ ( B ) é a esfera x + y + z ≤ 1.

1.2

1. a)

 

c)

 

(x, y) é tangente, no ponto (x, y), à circunferência de centro na origem

que passa por este ponto.

e) || (x, y) || = 1 e (x, y) é normal, no ponto (x, y), à circunferência de

centro na origem que passa por este ponto.

 

f) || (x, y) || = 1 e (x, y) é tangente, no ponto (x, y), à circunferência de

centro na origem que passa por este ponto.

g)

é normal, no ponto (x, y), à

circunferência de centro na

 

origem que passa por este ponto. Observe que a intensidade do campo no ponto (x, y) é o inverso da distância deste ponto à origem.

2. a)

 

b)

4. ∇ f (x, y) = (1, 2)

 

5. ∇ φ (x, y) = (− 2x, 1) é normal, no ponto (x, y), à curva de nível de φ que

passa por este ponto. Como 2 y = x é uma curva de nível de φ (φ (x, y)) = 0, ∇ 2 2 φ ( x, y ), com y = x , é normal, no ponto ( x, y ), à parábola y = x.

 

6. 2 ∇ ( x, y, z ) = (2 x , 2 y , 2 z ). Seja ( x, y, z ) um ponto da superfície esférica x +

y2 2 + z = 1. Neste ponto, ∇ f (x, y, z) é normal à superfície acima.

1.3

1.

 

2. (x, y) = (x f (u), y f (u)), onde . Temos:

 

e de forma análoga obtém-se:

 

Portanto, rot

5. a)

é tangente, no ponto (x, y), à

circunferência de centro na origem que passa por este ponto.

 

Observe que as trajetórias das partículas do fluido são circunferências de centro na origem. A velocidade angular da partícula que descreve a circunferência de raio é o quociente da velocidade escalar pelo

raio, ou seja, . Sejam A e B duas partículas do fluido que no

instante t 0 encontram-se sobre o eixo Ox. Suponhamos que a distância de

A à origem é menor que a de B à origem. Assim, a velocidade angular de A é maior que a de B. Seja t > 0 um real suficientemente pequeno. A figura a seguir mostra as posições de A e B nos instantes t = 0 e t.

 

β é o ângulo descrito por B no intervalo de tempo t e o descrito por A neste mesmo intervalo de tempo; α > β, pois, a velocidade angular de A é maior que a de B.

b) rot o que significa que é irrotacional.

1.4

1.

 

3. a) Não, pois div (x, y, z) = 1.

b) div ρ = 0, ou seja, div (ρ(y) y ) = 0. Daí

 

Portanto ρ(y)y = k, k constante.

5.

9. Vamos supor que existam as

derivadas parciais de , P, Q e R.

 

Portanto, div (φ ) = φ div + ∇ φ ·

e 2 ) Vamos supor P, Q e R de classe C no aberto Ω.

div (rot ) = div [rot P + rot Q + rot R ]

= div (rot P ) + div (rot Q ) + div (rot R ).

 

Então,

 

Conclua.

 

CAPÍTULO 3

3.1

1.

 

3.

 

4.

 

5.

6.

7.

 

8. 2 2 onde A é o círculo x + y ≤ 1. Volume

= 2π

 

d 2 2 ) onde A é o círculo x + y ≤ 1. Vol =

g 2 2 2 ) onde A é o círculo x + y ≤ a.

 

h 2 2 ) onde A é elipse 2 x + y ≤ 1.

 

(Faça na penúltima integral y = sen θ na última y = sen θ e boa sorte!)

l 2 2 ) onde A é o círculo ( x − 1) + y ≤ 1.

Para calcular a integral, fixe x e integre em relação a y; em seguida, faça x − 1 = sen θ.

m) onde A é o conjunto de todos (x, y) tais que

0 ≤ 2 x ≤ 1 − y.

n) onde A é o triângulo x + y ≤ 1, x ≥ 0 e y ≥ 0.

Vol =

9. a) área = onde B é o conjunto ln x ≤ y ≤ 1 + ln x, y ≥ 0 e x ≤ e.

Área = −1 e + e − 1

 

CAPÍTULO 4

4.2

1.

 

Para cada θ fixo em [0, 2π], ρ varia de 0 a 1 − cos θ.

h 2 2 ) e − e ( Sugestão : Faça u = y − x e v = x.)

 

(Outro processo: faça x = ρ cos θ, y = ρ sen θ observe que a equação da circunferência 2 2 x + y − x = 0 em coordenadas polares é

2. a ) O que se quer é o valor da integral onde A é o

 

conjunto 2 2 2 x + y ≤ 2, y ≥ x e 0 ≤ x ≤ 1. Em coordenadas polares, a equação da parábola 2 y = x se escreve

 

Então,

3. Faça u = y − x e v = y + x.

4. πab

4.3

1.

 

3. a) Volume = 2πd (área de B), onde d é a distância do centro de massa de B

( 2 B sendo olhado como um corpo homogêneo) à reta y = x + 2. Vol = 2 π .

 

CAPÍTULO 5

5.4

1.

 

g) onde A é o círculo (x −

1)2 2 + ( y − 1) ≤ 1.

 

r) Fixe (x, y) e integre em relação a z; em seguida faça u = x + y e v = xy e boa sorte!

2.

 

h 2 ) onde A é o círculo ( x − 2) + (y −

1)2 ≤ 5.

 

3. Massa =

4. onde A é o

triângulo x + y ≤ 1, x ≥ 0 e y ≥ 0; faça a mudança de variável u = x + y e v = x)

5. 16π

6. onde A é o

círculo 2 2 x + y ≤ 1. Massa = onde k é a constante de proporcionalidade.

5.5

1.

c) Faça x = 2ρ sen φ cos θ, y = 3ρ sen φ sen θ e z = ρ cos φ com

 

d) Faça u = x + y, v = x + 2y − z e w = z.

 

onde T é o paralelepípedo 1 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ ν 1 e 0 ≤ w ≤ 1.

 

2.

3. Massa =

4. 3 πa

5. Sugestão: Para calcular a

integral

faça ρ − a cos θ = a cos θ sen u e boa sorte!

5.7

1. onde k é a densidade, k constante. .

2. 2 LM, onde M é a massa do cubo.

3. onde B é o cubo dado. I =

 

4. a) onde M é a massa do cilindro.

b)

5. Podemos supor que o centro de massa do corpo B seja a origem, e que o

eixo que passa pelo centro de massa seja o eixo z. Então

Consideremos, agora, o eixo 2 x = a e y = b , com h

= 2 2 a + b. O momento de inércia com relação a este eixo

Tendo em vista que

resulta 2 I = I + Mh

cm

8. onde M é a massa da esfera.

9. b) onde B é o cone A equação

do cone obtém-se por semelhança de triângulos:

 

12. onde M é a massa do cone. CAPÍTULO 6

6.1

1.

2. 0

3. 1

4.

5. 0

7.

6.2

1.

2.

3. (x, y, z) = (1, 2, 1) + t [(0, 0, 0) − (1, 2, 1)], 0 ≤ t ≤ 1, é uma parametrização

para o segmento: x = 1 − t, y = 2 − 2t e z = 1 − t, 0 ≤ t ≤ 1.

 

4. 0

(Observação: A projeção no plano xy da interseção é a circunferência (x − 1)2 2 + ( y − 1) = 1; x − 1 = cos t, y − 1 = sen t e z = 3 + 2 cos t + 2 sen t é uma parametrização da curva, com a orientação pedida.)

5. Para se ter uma parametrização nas condições exigidas, basta tomar as

coordenadas esféricas com O valor da integral é

6. − 6

7. π

6.4

1. 0

2. 4

3.

4. −2

5.

6.

6.5

1.

2.

 

5.

7.

onde k é a densidade

linear do fio, k constante.

 

CAPÍTULO 7

7.2

1. a) é uma primitiva; logo é exata.

b 2 ) É exata, sendo xy uma primitiva.

c) xyz é uma primitiva; logo é exata.

d) é uma primitiva; logo é exata.

e) Não é exata, pois

h) −arctg , y > 0, é uma primitiva; logo é exata. Observe que θ (x, y) =

− arctg y > 0, é também uma primitiva. Sugerimos ao leitor verificar

que θ (x, y) é o ângulo que a semirreta {(tx, ty) | t ≥ 0} forma com o semieixo positivo Ox.

i) Verifique que

 

é uma primitiva.

(Observação: Para verificar que (x, y) admite derivadas parciais nos pontos (x, 0), x < 0, será útil observar que θ (x, y) = π arctg , x < 0.)

7.3

1.

 

3.

4. Verifique que : θ : Ω → ℝ dada por

 

é uma primitiva em Ω. Isto é,

Como é o gráfico de θ? O valor da integral é θ(2, 2) − θ(1, 1) = 2π.

 

7.6

1.

 

Portanto,

 

2.

4. a) Seja y 0 ∈ [c, d]. Precisamos provar que, para todo ε > 0 dado, existe δ >

0 tal que, para todo y ∈ [c, d],

|y − y0| < δ ⇒ |φ y) − (y0)| < ε .

Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, quaisquer que sejam (x, y) e (s, t) no retângulo,

 

Então, para todo x ∈ [a, b],

Como

 

 

resulta

 

ou seja,

 

b) Seja y ∈ I. Sejam c, d ∈ I, com c < y < d. Como é contínua no

0 0

retângulo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, quaisquer que sejam (x, y) e (s, t) no retângulo acima,

 

Temos

 

Pelo teorema do valor médio, para todo y ∈ [c, d] existe y1 no intervalo aberto de extremos y 0 e y tal que

 

Segue que

e, portanto,

 

 

Para todo y ∈ [c, d] e para todo x ∈ [a, b],

|y − y0| < δ ⇒ || (x, y) − (x, y0) || < δ ⇒ || (x, y1) − (x, y0) || < δ,

pois |y − y | ≥ |y − y |. Portanto, 0 1 0

 

Ou seja,

 

Logo,

 

(Observação: Para a demonstração da propriedade enunciada no início do exercício, veja A2-1 do Apêndice 2.)

 

CAPÍTULO 8

8.1

1. Pelo teorema de Green, Pelo

teorema do valor médio para integrais, existe (s, t) ∈ B, com

 

2.

 

Aplique o teorema de Green aos conjuntos K1 e K2 e some membro a membro as igualdades obtidas.

8. Sugestão:

 

faça agora y = r sen θ e boa sorte!

9.

Fazendo a mudança de variável y = f (t) vem:

 

Por outro lado,

 

Conclua. (Observe que este raciocínio não se aplica ao setor circular − r ≤ x 1 ≤ 0 e 0 ≤ y ≤ , pois não é de classe C em [−r, 0].)

8.2

2. 3π

3. πab

4. 2α, onde é a área de B. (Observe que B tem área, pois sua fronteira tem

conteúdo nulo.)

5. 10

6. 2π

7. 2π

8. −3

9.

8.4

1. a) Pelo teorema da divergência onde K é o

2 2

círculo x + y ≤ 1. Assim,

b) 1

c) onde K é a região Assim,

Olhando só para o campo você seria capaz de prever

este resultado? Por quê?

d) Cuidado, o teorema da divergência não se aplica. Por quê? Temos:

 

é normal a γ e tem a componente y ≥ 0, para 0 ≤ t ≤ π. Temos, então,

 

Observe que bastaria olhar para o campo para se concluir este resultado.

6. α = 1

7. a)

 

10. 3α

11.

12.

13. 1

 

CAPÍTULO 9

9.1

1. 2 2 a ) A imagem é o paraboloide de rotação z = x + y.

b)

 

c)

 

d 2 2 2 ) A imagem é a semissuperfície esférica x + y + z = 1, y ≥ 0.

e 2 2 2 ) x = v cos u , y = v sen u e z = v ⇒ x + y = z. A imagem de é a face

lateral do cone

 

f) A imagem de σ coincide com o gráfico da função

 

2. x = (2 + cos ν) cos u, y = (2 + cos ν) sen u e z = sen ν com 0 ≤ u ≤ 2π e 0 ≤

ν ≤ 2π .

3.

4. a) x = cos u, y = sen u e z ν, = 0 ≤ u ≤ 2 π e ν ∈ ℝ

b 2 ) x = u , y = v e z = (5 − 2 u − v ), ( u, v ) ∈ ℝ

c)

 

( ν x, y, z ) = ( ν cos u, v sen u, e), 0 ≤ u ≤ 2πe ν ≥ 0

Observe que a imagem desta superfície coincide com o gráfico da função

 

d) (x, y, z) = (1 + cos u, sen u, v), 0 ≤ u ≤ 2πe v ∈ ℝ

9.2

1.

 

9.3

1.

 

2. 2 8 π

4. 16

5.

6.

9.

12.

13.

9.4

1.

2.

 

3.

4.

 

CAPÍTULO 10

10.1

5. O fluxo através da superfície lateral do cilindro é zero. Sejam σ1 (u, v) =

( 2 2 2 u, v , 0), u + v ≤ 1, a base inferior do cilindro e σ ( u, v ) = ( u, v , 1), u +

2

v2 ≤ 1, a base superior; a normal a σ é = − e a normal a σ é = Segue que

 

onde 2 2 K é o círculo u + v ≤ 1. Ou seja,

 

Por outro lado,

 

ou seja,

onde 2 2 K é o círculo x + y ≤ 1. De ① e ② resulta

 

 

6. O fluxo através das bases do cilindro é zero. Seja σ3 (u, v) = (cos u, sen u,

v), 0 ≤ u ≤ 2π , e 0 ≤ ν ≤ 1, a superfície lateral do cilindro,

 

onde P e Q são calculados em (cos u, sen u, v) e K3 é o retângulo 0 ≤ u ≤ 2π , 0 ≤ ν ≤ 1. Segue que

 

Por outro lado,

 

Temos:

 

onde A é o retângulo −1 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1. Assim, 1

 

Façamos, agora, a mudança de variável

Assim,

 

onde D é o retângulo Vamos mostrar, agora, que 1

 

onde D é o retângulo De fato, fazendo a mudança de 2

variável

 

vem:

 

Portanto,

 

onde D é o retângulo Por outro lado, a integral 3

de

P (cos u, sen u, v) cos u no retângulo é igual à

integral de

P (cos u, sen u, v) cos u no retângulo (Verifique.)

Portanto,

 

onde K3 é o retângulo 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ ν ≤ 1.

Fica a seu cargo verificar que

 

De ①, ②, ③ e ④ segue o que se queria provar.

11.

13. 0

10.2

1. 0

2. 36π

4. 2 2 Seja σ ( u, v ) = ( u, v , 0), u + v ≤ 1. Seja = − . A imagem da cadeia

1

(σ, σ 2 2 2 ) coincide com a fronteira da semiesfera x + y + z ≤ 1, z ≥ 0. Pelo

1

teorema da divergência

 

onde B é a semiesfera citada anteriormente. Como

 

(por quê?) resulta

7.

 

8. −π

10. Zero se a origem não pertence a K; 4π se a origem pertence ao interior

de K.

 

CAPÍTULO 11

11.1

1.

4. 0

5.

9. 2π

10. 0

11. 1