7.6 Derivação sob o sinal de integral. Uma condição suficiente para um campo irrotacional ser conservativo

I) é conservativo.

II) 1

= 0 para toda curva γ, fechada, C por partes, com imagem de γ

contida em Ω.

III) é independente do caminho de integração em Ω.

 

Observação: Quando γ é uma curva fechada, é usual a notação para

indicar a integral de linha de sobre γ.

 

Demonstração

(I) ⇒ (II)

Como é conservativo, existe φ : Ω → ℝ tal que ∇φ = em Ω; daí, se γ : [ a, b ] → Ω for fechada (γ (a) = γ (b)) resulta

 

(III) ⇒ (I)

É o teorema da seção anterior.

(II) ⇒ (III)

Fica a seu cargo.

■

7.6. DERIVAÇÃO SOB O SINAL DE INTEGRAL. UMA

CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA UM CAMPO

IRROTACIONAL SER CONSERVATIVO

Seja 2 f ( x , y ) uma função a valores reais definida e contínua no aberto Ω ⊂ ℝ. Seja I um intervalo aberto e a < b dois reais dados. Suponhamos que o retângulo

R 2 = {( x , y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, y ∈ I}

esteja contido em Ω.

 

Segue que para cada y ∈ I, a integral dx existe, pois a função x ↦ f (x, y)

é contínua em [ a, b ]. Podemos, então, considerar a função φ (y) definida em I e dada por

 

Estamos interessados em obter uma fórmula para o cálculo de φ'(y). Temos

 

Suponhamos que (x, y) exista em todo ponto (x, y) de Ω. Pelo TVM, existe entre

y e y + k tal que

Temos, então,

 

Pode ser provado (veja Exercício 4) que se for contínua em , então,

 

Vamos destacar a seguir o que dissemos anteriormente.

 

Suponhamos f (x, y) e contínuas em Ω. Suponhamos, ainda, que o retângulo

R 2 = {( x , y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, y ∈ I} esteja contido em Ω, onde I é um intervalo

aberto.

 

Nestas condições, a função

 

é derivável e tem-se, para todo y ∈ I,

EXEMPLO 1. Considere a função h (t) dada por h (t) = Calcule h'(t).

 

Solução

 

são contínuas em 2 ℝ, logo o resultado anterior se aplica. Temos

 

ou seja,

 

EXEMPLO 2. Considere a função φ (x, y) dada por

 

Solução

Pelo teorema fundamental do cálculo (veja Vol. 2)

 

Por outro lado,

EXEMPLO 3. Considere a função h (t) dada por

 

Calcule h' (t).

Solução

Consideremos a função Temos

 

Como são contínuas, resulta que é diferenciável.

Observação. Pode ser provado que se f (u, y), (u, y) ∈ Ω for contínua no aberto Ω, então o mesmo acontecerá com a função g (x, y) = f (u, y) du com a fixo. Observe

que o domínio de g é o conjunto de todos (x, y) ∈ Ω, tais que o segmento de extremidades (a, y) e (x, y) esteja contido em Ω.

Temos

h 2 ( t ) = φ ( x , y ), onde x = t e y = t.

Pela regra da cadeia,

 

ou seja,

 

Portanto,

O próximo teorema fornece-nos uma condição suficiente para que rot =

implique conservativo.

 

Teorema. 2 Seja Ω um aberto do ℝ satisfazendo a propriedade: existe (x , y ) ∈

0 0

Ω tal que, para todo (x, y) ∈ Ω, a poligonal de vértices (x 0, y0), (x0, y) e (x, y) está

contida em Ω. Seja 1 ( x , y ) = P ( x , y ) + Q ( x , y ) , ( x , y ) ∈ Ω, de classe C.

Nestas condições, se rot = em Ω, então será conservativo.

 

Demonstração

 

Seja

 

Observe que se supusermos como um campo de forças, então φ (x, y) será o trabalho realizado por sobre uma partícula que se desloca de (x , y ) a (x, y) sobre a 0 0 poligonal de vértices (x 0, y0), (x0, y) e (x, y).

Vamos mostrar que

Temos

 

 

ou seja,

 

Como

 

resulta

 

Portanto, ∇ φ = em Ω.

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Observação. 2 2 Toda bola aberta do ℝ e o próprio ℝ satisfazem a propriedade descrita no teorema anterior. Assim, o teorema anterior continua válido se Ω for uma bola aberta ou todo o 2 ℝ.

Sugerimos ao leitor estender o teorema anterior para o 3 ℝ. (Veja Exercício 3.)

EXEMPLO 4. 2 Seja A = {( x , y ) ∈ ℝ | x ≥ 0 e y = 0} e seja Ω = {( 2 2 x , y ) ∈ ℝ | ( x , y ) ∉ A }, isto é, Ω é o ℝ menos o semieixo positivo dos x. Considere a função

 

a) Seja (−1, 0) ∈ Ω. Verifique que, para todo (x, y) ∈ Ω, a poligonal de vértices (−1, 0), (−1, y) e (x, y) está contida em Ω.

b) Utilizando o teorema anterior, conclua que

 

c) Determine φ.

Solução

a) Imediato.

b) Seja

é de classe 1 C em Ω e tendo em vista o item a, segue do teorema anterior que

∇φ = em Ω.

c) Temos:

 

Assim,

 

Como

e

 

 

resulta

 

Observamos que, para todo y > 0,

 

De fato, para todo y > 0,

 

conclui-se que, para todo y > 0, ① se verifica. Mostra-se do mesmo modo que, para todo y < 0,

Assim,

 

 

Observamos que θ (x, y) = φ (x, y) + π é, também, uma função potencial para em Ω.

Temos

 

Vamos mostrar que θ (x, y) é exatamente o ângulo que a semirreta {(tx, ty) | t ≥ 0} forma com o semieixo positivo dos x.

 

Suponhamos, inicialmente, x > 0 e y > 0. Temos

ou

 

 

e, portanto,

 

Analise você os outros casos. A função θ (x, y) acima denomina-se função ângulo. Como é o gráfico da função θ = θ (x, y)?

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Exercícios 7.6

1. Calcule a derivada da função dada.

 

2. Sejam α (x) e β (x) funções a valores reais diferenciáveis no intervalo aberto I

e 1 2 f ( x , y ) de classe C no aberto Ω ⊂ ℝ. Suponha que, para todo x ∈ I, o segmento de extremidades (x, α (x)) e (x, β (x)) esteja contido em Ω. Estabeleça uma fórmula para a derivada da função

3. 2 Suponha que o aberto Ω ⊂ ℝ tenha a seguinte propriedade: existe (x , y , z )

0 0 0

em Ω tal que, para todo (x, y, z) ∈ Ω, a poligonal de vértices (x0, y0, z0), (x, y0, z ), (x, y, z ) e (x, y, z) esteja contida em Ω. 0 0

 

Prove que ∇φ = .

4. Admita a seguinte propriedade: se f (x, y) for contínua no retângulo a ≤ x ≤ b, c

≤ y ≤ d, então, para todo > 0, existe δ > 0, tal que, quaisquer que sejam (x, y) e (s, t) no retângulo,

|| (x, y) − (x, t) || < δ ⇒ | f (x, y) − f (s, t) | < .

a) Utilizando a propriedade acima, prove que

é contínua em [ c, d ], onde f é suposta contínua no retângulo acima. (Sugestão:

 

b 2 ) Suponha f e contínuas no retângulo {(x, y) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, y ∈ I}, onde

I é um intervalo aberto. Seja

 

Prove que

 

5. 1 2 Seja = P + Q de classe C no aberto Ω ⊂ ℝ. Suponha que (0, 0) ∈ Ω e

que, para todo (x, y) ∈ Ω, o segmento de extremidades (0, 0) e (x, y) está contido em Ω. Suponha, ainda, em Ω. Seja

 

onde γ (t) = (ut, vt), t ∈ [0, 1]. Prove que ∇ φ = .