A5.3 Função de uma variável: criando tabela, gráfico e cálculo de raiz

A5.3. FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL: CRIANDO TABELA,

GRÁFICO E CÁLCULO DE RAIZ

Nesta seção você aprenderá a criar tabela para função de uma variável. Aprenderá, também, a determinar raiz (ou zero) de função, bem como raiz de equação.

EXEMPLO 1. 2 Construa uma tabela para a função f ( x ) = x − 3x + 5, com x variando de −3 a 4 e com passo 0,5.

Solução

A primeira coisa a fazer é definir a função e, em seguida, definir a variação para o x. Para construir a tabela para a variação do x é só digitar x e pressionar a tecla de igual. Para construir a tabela para os valores da função, digita-se f(x) e pressiona-se a tecla de igual. Para definir a variação para o x proceda assim:

x := − 3, − 2.5 ..4

Para entrar com os dois pontinhos abra a caixa Calculator (calculadora) e clique em m..n. Observe: para contar para o Mathcad que x varia com passo 0,5 e de − 3 a 4, entra-se com − 3 e, em seguida, com − 2.5 (lembre-se, no Mathcad o separador decimal é o ponto), sendo que − 3 e − 2.5 devem ser separados por vírgula; em seguida, entra-se com os dois pontinhos e, por último, com 4. (Atenção. Se quiséssemos passo 0,4, a definição da variação de x ficaria assim: x := − 3, − 2.6 ..4. OK?)

Pela tabela, x = 1,5 é uma estimativa para o ponto de mínimo da função. (Na verdade, x = 1,5 é exatamente o ponto de mínimo e 2,75 o menor valor da função. Confira.)

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EXEMPLO 2. x Construa uma tabela para a função f ( x ) = 3 x − 2, − 3 ≤ x ≤ 4, com x variando de − 3 a 4 e com passo 0,5. Observando a tabela, dê estimativas para as suas raízes. Dê, também, estimativas para os pontos de máximo e de mínimo locais.

Nota: Na versão Mathcad 2001 abra a caixa Matrix para clicar m..n.

Solução

EXEMPLO 3. Construa o gráfico da função do exemplo anterior.

Solução

Primeiro digite a função e a variação para x, com passo, digamos, 0,5. Entre com a caixa Graph e clique no ícone representando um gráfico (é o primeiro ícone da caixa). Em seguida, no placeholder, na parte de baixo do retângulo, entre com x; no placeholder localizado na lateral esquerda do retângulo entre com f(x). Para visualizar o gráfico dê um clique fora do retângulo maior. Agora, dê dois cliques sobre o gráfico e, na caixa que se abre, clique na opção à esquerda de Crossed para obter o gráfico que aparece na parte inferior da tela mostrada a seguir.

Observação. Para a construção do gráfico não é necessário entrar com a variação para x: basta entrar com a função como mostrado na próxima tela. Caso você queira alterar a variação atribuída automaticamente pelo Mathcad para a variação de x (que no caso em questão foi −10 a 10) é só alterá-la manualmente: para substituir o −10 que aparece na parte inferior esquerda do primeiro gráfico é só apagá-lo e entrar com o valor desejado, de forma análoga com o 10 que aparece do lado direito do −10. Para obter a segunda figura substituímos o −10 por −3 e o 10 por 5.

Caso queira que no eixo x (ou no eixo y) apareçam mais marcas de escala, dê dois cliques sobre o gráfico; na caixa que se abre e na coluna X-Axis dê um clique em Auto Grid e, em Number of Grids, troque o 2, por exemplo, por 4. (Veja a próxima tela.)

EXEMPLO 4. x Resolva a equação 3 x = 2. (Ou determine as raízes ou zeros da função f x ( x ) = 3 x − 2.)

Solução

A equação tem duas raízes: uma entre 0 e 1 e a outra entre 3 e 4. (Veja a tabela do Exemplo 2 ou o gráfico da tela anterior.) Sem a tabela e sem o gráfico, pense assim: para x = 0 o primeiro membro é menor que o segundo e para x = 1, o primeiro é maior que o segundo. Pelo teorema de Bolzano, pois a função é contínua, deverá existir uma raiz entre 0 e 1. Para resolver a equação é preciso entrar com estimativa para a raiz desejada. Primeiro vamos determinar a raiz que está mais próxima de 0 e depois a que está mais próxima de 4. Para a raiz que está mais próxima de 0 vamos entrar com a estimativa 0. (Nada mudará se entrarmos com a estimativa 0,5.) A sintaxe para resolver o problema é a seguinte:

x := 0 (estimativa)

given

3 · x x = 2

(Este = é o que se obtém pressionando simultaneamente as teclas Ctrl e =.)

Agora, pressione a tecla para obter

Find(x) = 0.458.

Trocando a estimativa x = 0 por x = 3,5 obtemos a outra raiz, que é 3.313. (Caso queira mais casas decimais, clique à direita do algarismo 8, na igualdade acima, e, em seguida, na barra de ferramentas, clique em Format, escolha a opção Result, defina o número de casas decimais e clique em OK para confirmar a escolha.)

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Atenção. Não se esqueça: no Mathcad o ponto é o separador decimal. Não pode faltar a palavra given (given = dada ou dado) entre a estimativa e a equação.