1.3 Rotacional

Consideremos o campo vetorial (x, y, z) = P (x, y, z) + Q (x, y, z) + R (x, y, z 3 ) definido no aberto Ω ⊂ ℝ. Suponhamos que P, Q e R admitam derivadas parciais em Ω. O rotacional de , que se indica por rot é o campo vetorial definido em e Ω dado por

 

A expressão acima pode ser lembrada facilmente representando-a pelo “determinante”:

 

Os “produtos” que ocorrem nos “determinantes” de 2.ª ordem devem ser

interpretados como derivadas parciais: por exemplo, o “produto” de por R é a

derivada parcial .

Podemos, ainda, expressar rot como um “produto vetorial”:

Consideremos, agora, o campo vetorial de Ω 2 2 ⊂ ℝ em ℝ, Ω aberto, dado por (x, y) = P (x, y) + Q(x, y) e suponhamos que P e Q admitem derivadas parciais em Ω. Neste caso, o rotacional de é a transformação de em Ω 3 ℝ dada por

 

EXEMPLO 1. 2 Seja ( x , y , z ) = xy + yz + xyz . Calcule rot .

Solução

 

ou seja

rot = z (x − 2y) − yz − x .

■

EXEMPLO 2. 2 Seja ( x, y ) = Q ( x, y ) . Suponha que, para todo ( x, y ) ∈ ℝ,

.

a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas. b) Calcule rot .

Solução

a) Como, para todo (x, y), , segue que Q não depende de x, isto é, Q é constante sobre cada reta paralela ao eixo x.

 

O campo acima satisfaz as condições dadas. Sugerimos ao leitor desenhar outros campos que satisfaçam as condições dadas.

b 2 ) rot ( x , y ) = ( x, y ) = , para todo ( x, y ) ∈ ℝ.

■

EXEMPLO 3. 2 Seja ( x, y ) = Q ( x, y ) . Suponha que, para todo ( x, y ) ∈ ℝ, (x,

y) > 0.

a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas. b) Calcule rot .

Solução

a) Segue da hipótese que, para cada y fixo, a função x ∞ Q (x, y) é estritamente crescente, isto é, Q (x, y) é estritamente crescente sobre cada reta paralela ao eixo x.

b) rot (x, y) = (x, y) ≠ , para todo (x, y).

■

Consideremos, agora, um fluido em escoamento bidimensional com campo de velocidade (x, y) = Q (x, y) . ( (x, y) é a velocidade com que uma partícula do fluido passa pelo ponto (x, y).) Observe que as trajetórias descritas pelas partículas do fluido são retas paralelas ao eixo y. Suponhamos que rot (x, y) ≠ (0, 0). Para fixar o

raciocínio, suporemos Q (x, y) 0 > e (x, y) > 0. O campo de velocidade (x, y)

tem, então, o aspecto daquele do exemplo anterior. É razoável esperar, então, que “qualquer pequena coisa” (com a forma de um pequeno disco) que flutue sobre o fluido gire à medida que se desloca sobre o fluido.

Consideremos novamente um fluido em escoamento bidimensional com campo de velocidade

(x, y) = P (x, y) + Q (x, y) .

As componentes 1 P e Q são supostas de classe C.

 

Nosso objetivo a seguir é dar uma interpretação para a componente do

rotacional de .

Sejam A e B duas partículas do fluido e suponhamos que no instante t 0 elas ocupem as posições (x , y ) e (x + h, y ), respectivamente, com h > 0. Indiquemos por A(t) e 0 0 0 0

B(t) as posições ocupadas pelas partículas num instante t qualquer.

Seja θh (t) o ângulo (medido em radianos) que o segmento de extremidades A (t) e B (t) forma com o segmento de extremidades A (t 0) = (x0, y0) e B (t0) = (x0 + h, y0). (O sentido positivo para a contagem do ângulo é o anti-horário.) Façamos

A (t) = (x1 (t), y1 (t)) e B (t) = (x2 (t), y2 (t)).

Seja δ (t) a distância entre A (t) e B (t). Observe que, no instante t0, δ (t0) = h.

 

Temos:

δ (t) sen θh (t) = y2 − (t) − y1 (t).

Derivando em relação a t, obtemos:

 

No instante t0 temos:

 

Observe que ẏ (t ) é a componente vertical da velocidade de B no instante t ; logo, 2 0 0

ẏ (t ) = Q (x + h, y ). 2 0 0 0

Da mesma forma,

ẏ 1 (t0) = Q (x0, y0).

 

que é a velocidade angular do segmento de extremidades A (t) e B (t), no instante t 0.

Segue de ③ que

 

Assim, para h > 0 suficientemente pequeno,

 

Observamos que se o movimento for rígido (isto é, a distância entre as partículas mantém-se constante durante o movimento) e com velocidade angular ω, então, para todo h > 0,

 

e, portanto,

 

Consideremos, agora, uma outra partícula C que no instante t ocupe a posição 0

C (t0) = (x0, y0 + k).

No instante t , C (t ) = (x , y + k) e A (t ) = (x , y ). Façamos C (t) = (x (t), y (t)). 0 0 0 0 0 0 0 3 3 Sendo δ1 (t) a distância entre C (t) e A (t), vem:

δ (t) sen φk (t) = x (t) − x (t). 1 1 3

Deixamos a seu cargo concluir que

 

Para k suficientemente pequeno

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Observamos que chegaríamos ao mesmo resultado obtido acima se, no instante t , 0 os vetores B (t ) − A (t ) e C (t ) − A (t ) fossem ortogonais, mas não necessariamente 0 0 0 0 paralelos aos eixos coordenados. (Veja Exercício 7.)

Se o movimento for rígido com velocidade angular ω, teremos

 

EXEMPLO 4. Suponhamos que a representação geométrica do campo (x, y) tenha o seguinte aspecto.

Observe que as trajetórias descritas pelas partículas são retas. O segmento de extremidades A e C desloca com velocidade angular nula, enquanto a do segmento AB é não nula. Devemos esperar então rot ≠ .

Seja : Ω n n ⊂ ℝ → ℝ (n = 2,3) um campo vetorial qualquer; dizemos que é irrotacional se e somente se rot = em Ω.

 

EXEMPLO 5. Considere o campo vetorial

 

a) Desenhe o campo.

b) Verifique que é irrotacional.

Solução

a) o que significa que a intensidade de em (x, y) é o inverso da

distância deste ponto à origem. Observe que a intensidade de é constante sobre cada circunferência de centro na origem. O sentido de (x, y) é do ponto (x, y) para a origem.

b) Imagine como um campo de velocidade e olhe para as figuras a seguir:

 

Na situação (1), o segmento determinado pelas partículas A e B se desloca com velocidade angular positiva (sentido anti-horário), enquanto o determinado por A e C se desloca com velocidade angular nula. Na situação (2), o segmento determinado por A e B se desloca com velocidade angular nula, enquanto o determinado por A e C se desloca com velocidade an gular negativa (sentido horário). É razoável, então, esperar que seja irrotacional (por quê?). E de fato o é, pois:

 

EXEMPLO 6. Considere um fluido em escoamento bidimensional com campo de velocidade (x, y) = −y + x . Calcule rot e interprete.

Solução

O escoamento não é irrotacional, pois,

 

Observe que (x, y) é tangente, em (x, y), à circunferência, de centro na origem, que passa por este ponto. As partículas do fluido descrevem circunferências de centro na origem. A velocidade escalar da partícula que se encontra na posição (x, y) é

Segue que a velocidade angular da partícula que se encontra

na posição (x, y) é 1 (radiano por unidade de tempo): todas as partículas do fluido estão girando em torno da origem com a mesma velocidade angular. Trata-se de um movimento rígido com velocidade angular 1.

Observe que o círculo A gira em torno da origem, com um movimento de rotação em torno do seu próprio centro.

■

Exercícios 1.3

1. Calcule o rotacional.

 

2. Considere o campo de força central onde f : ℝ → ℝ é

uma função derivável e = x + y . Calcule rot .

3. 2 2 Seja φ : Ω ⊂ ℝ → ℝ , Ω aberto, de classe C. Verifique que o campo vetorial

= ∇ φ é irrotacional.

4. 2 Considere o escoamento bidimensional na região Ω = {( x , y ) ∈ ℝ | − 3 < x <

3, y ∈ ℝ} com velocidade

a) Desenhe tal campo de velocidade. b) O escoamento é irrotacional?

5. Considere o escoamento bidimensional

 

a) Desenhe tal campo.

b) Calcule rot e interprete.

6. Considere o escoamento

 

onde α > é uma constante. Verifique que rot (x, y) ≠ para α ≠ 1.

7. 2 2 Seja = P + Q um campo vetorial de ℝ em ℝ, com P e Q

diferenciáveis. Sejam = cos α + sen α e = − sen α + cos α , onde α ≠ 0 é um real dado. Seja (s, t) as coordenadas de (x, y) no sistema de coordenadas (0, , ). Assim (x, y) = s + t . Observe que (x, y) = s + t é equivalente a x = s cos α − t sen α e y = s sen α + t cos α.

a) Mostre que

 

b) Seja

 

onde

P1 (s, t) = P (x, y) cos α + Q (x, y) sen α

e

Q (s, t) = Q (x, y) cos φ − P (x, y) sen α 1

com x = s cos α − t sen α e y = s sen α + t cos α. Mostre que