4 Mudança de variáveis na integral dupla

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MUDANÇA DE V ARIÁVEIS NA

INTEGRAL DUPLA

4.1. P RELIMINARES

Seja ( 1 x , y ) = φ ( u, v ), ( u, v ) ∈ Ω, uma transformação de classe C no aberto Ω ⊂ ℝ2. Seja A um retângulo, de lados paralelos aos eixos, contido em Ω.

Seja 2 B = φ ( A ) = { φ ( u, v ) ∈ ℝ | (u, v) ∈ A}. Assim, φ transforma o retângulo A no conjunto B. Estamos interessados, a seguir, em avaliar a área de B, supondo Δu e Δv suficientemente pequenos.

Observamos, inicialmente, que se γ ( 1 t ) = ( x ( t ), y ( t )) for uma curva de classe C, o

comprimento s = s (t) do arco de extremidades γ (a) e γ (t) (a fixo) é (veja Vol. 2)

Pelo teorema fundamental do cálculo (observe que || γ' (u) || é contínua, pois estamos supondo γ de classe 1 C)

e, assim, a diferencial de s = s (t) será

ds = || γ' (t) || dt.

Deste modo, teremos

onde Δs é o comprimento do arco de extremidades γ (t) e γ (t + Δt), com Δt > 0. Evidentemente, a aproximação será tanto melhor quanto menor for Δt.

Como γ' (t) é um vetor tangente à curva γ, em γ (t), segue que γ' (t) Δt será, também, tangente a esta curva em γ (t); além disso, o seu comprimento || γ' (t) Δt|| = || γ' (t) || Δt é aproximadamente o comprimento do arco de extremidades γ (t) e γ (t + Δt).

Voltemos, agora, ao nosso conjunto B. A derivada (u , v ) desempenha (em

0 0

relação à curva v ∞ φ (u0, v)) o mesmo papel que γ' (t). Pelo que vimos acima.

é aproximadamente o comprimento do arco MQ. Do mesmo modo,

é aproximadamente o comprimento do arco MN.

Conforme você aprendeu em vetores, a área do paralelogramo determinado pelos

vetores

Assim,

Seja, agora, (ū, ) um ponto qualquer no retângulo A (u0 ≤ ū ≤ u0 + Δu e v0 ≤ ≤ v0 + Δv); tendo em vista a continuidade de e supondo Δu e Δv suficientemente

pequenos, teremos:

Segue que, para todo (ū, ) ∈ A,

Deste modo, o número pode ser interpretado como um fator

de ampliação (ou contração) local de área.

De (x, y) = φ (u, v), x = x (u, v) e y = y (u, v), segue

Como

resulta

onde

é o determinante jacobiano da transformação (x, y) = φ (u, v). Assim,

isto é, a norma do vetor (u, v) é igual ao módulo do determinante

jacobiano da transformação (x, y) = φ (u, v).

EXEMPLO. Considere a transformação φ dada por x = ρ cos θ e y = ρ sen θ (coordenadas polares).

a) Calcule o determinante jacobiano.

b) Seja A um retângulo (no plano ρθ) situado no 1.˚ quadrante, de lados paralelos aos eixos, e com comprimentos Δρ e Δθ. Avalie a área de B = φ (A).