Um Curso de Cálculo, Volume 3
2 Integrais duplas
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INTEGRAIS DUPLAS
2.1. SOMA DE RIEMANN
Seja o retângulo 2 R = {( x , y ) ∈ ℝ| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} onde a < b e c < d são números reais dados. Seja P1: a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b e P2: c = y0 < y1 < y2 < … < y m = d partições de [a, b] e [c, d], respectivamente. O conjunto
P = {(xi, yj) |i = 0, 1, 2, …, n, j = 0, 1, 2, …, m}
denomina-se partição do retângulo R. Uma partição P de R determina mn retângulos Rij = {( 2 x , y ) ∈ ℝ | x ≤ x ≤ x , y ≤ y ≤ y }.
i− 1 i j− 1 j
Seja 2 B ⊂ ℝ; dizemos que B é limitado se existir um retângulo R, com B ⊂ R. Seja f 2 : B ⊂ ℝ → ℝ, com B limitado. Assim, existe um retângulo
R 2 = {( x , y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
que contém B. Seja P = {(xi, yj) | i = 0, 1, 2, …, n, j = 0, 1, 2, …, m} uma partição de R. Para cada par de índices (i, j), seja Xij = (rij, sij) um ponto escolhido arbitrariamente no retângulo R . Pois bem, o número ij
onde f (Xij) deve ser substituído por zero se Xij ∉ B, denomina-se soma de Riemann de f, relativa à partição P e aos pontos X . ij