Apêndice 2 Existência de integral dupla

Apêndice

2

EXISTÊNCIA DE INTEGRAL DUPLA

A2.1. P RELIMINARES

Seja 2 X , n ≥ 1, uma sequência de pontos do ℝ. Seja m , n ≥ 1, uma sequência

n n

estritamente crescente de números naturais não nulos:

m 1 < m2 < … < mn < …

A sequência X mn, n ≥ 1, denomina-se subsequência da sequência Xn dada.

Seja 2 K ⊂ ℝ um conjunto compacto. Seja X , n ≥ 1, uma sequência de pontos de K.

n

Vamos mostrar, a seguir, que a sequência acima admite uma subsequência Xmn, n ≥ 1, que converge a um ponto X0 ∈ K.

Como K é compacto, existe um retângulo A que contém K. Dividamos A em quatro retângulos. Em pelo menos um destes retângulos caem infinitos termos da sequência X . n Seja A 1 este retângulo e seja Xm1 o termo de menor índice que pertence a A1. Dividamos A 1 em quatro retângulos iguais. Em pelo menos um destes retângulos caem infinitos termos da sequência; seja A 2 este retângulo. Seja m2 o menor número natural do conjunto {n ∈ ℝ | n > m 1} tal que Xm2 ∈ A2. Dividamos A2 em quatro retângulos iguais. Em pelo menos um destes retângulos caem infinitos termos da sequência; seja A 3 este retângulo. Seja m o menor natural do conjunto {n | n > m } tal que Xm A 3 ∈ . 2 3 ∈ 3 Deixamos a seu cargo concluir que a subsequência construída desta forma converge a um ponto X0 ∈ K. (Utilize a propriedade dos intervalos encaixantes — Seção 1.5, Vol. 1, 5.ª ed. — e observe que, pelo fato de K ser fechado, todo ponto de acumulação de K pertence a K.)

Teorema. 2 Seja K ⊂ ℝ um conjunto compacto e seja f : K → ℝ uma função.

Se f for contínua em K, então, para todo > 0 dado, existe δ > 0 tal que, quaisquer

que sejam X e Y em K,

|| X − Y || < δ ⇒ | f (X) − f (Y) | < .

Demonstração

Suponhamos, por absurdo, que exista > 0 tal que, para todo δ > 0, existem X e Y em K tais que

|| X − Y || < δ e | f (X) ∈ f (Y) | ≥ .

Se assim for, para todo natural n ≥ 1 existirão pontos X e Y em K tais que n n

Pelo que vimos acima, a sequência Xn admite uma subsequência Xmn, n ≥ 1, que converge a um ponto X0 ∈ K. Como, para todo natural n ≥ 1,

resulta que a sequência Y , n ≥ 1, também converge a X . m n 0

Pelo fato de f ser contínua, resulta

que está em contradição com

|f (Xmn) − f (Ymn)| ≥

para n ≥ 1.

■

Para finalizar a seção, vamos destacar algumas propriedades das somas superior e inferior.

Seja o retângulo 2 A = {( x, y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} e seja f (x, y) definida e limitada em A. Sejam P e P duas partições quaisquer de A. Deixamos a seu cargo 1 2

verificar que

(Proceda como na demonstração do corolário da Seção A4.2 — Apêndice 4, Vol. 1, 5.ª ed.)

Segue que o conjunto

é limitado inferiormente e como é não vazio admite ínfimo L:

L = inf {S (P) | P é partição de A}.

Ainda de ① segue que, para toda partição P de A, s (P) é cota inferior do conjunto ②. Logo, para toda partição P de A,

Para toda partição P de A, temos, também,

No que segue, indicaremos por d (P) a maior das diagonais dos retângulos A ij determinados pela partição P. (Observe que se d (P) → 0, então o maior dos lados dos retângulos A ij também tenderá a zero.)

Segue de ③ e ④ que se