Um Curso de Cálculo, Volume 3
Apêndice 3 Equação da continuidade
Apêndice
3
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A3.1. P RELIMINARES
Consideremos um escoamento bidimensional com campo de velocidade independente do tempo e dado por
onde 1 P e Q são supostas de classe C. Indiquemos por
a posição, no instante t, da partícula que no instante t0 ocupa a posição (u, v), isto é, para t = t , 0
Fixados u e v, ① fornece a posição, no instante t, da partícula que no instante t 0 ocupa a posição (u, v). A velocidade desta partícula no instante t é
Como
resulta
e
Observe que no instante t0 tem-se:
Admitiremos que as funções que ocorrem em 2 3 ① são de classe C em ℝ e que, para todo 2 t ∈ ℝ e todo ( u, v ) ∈ , ℝ,
Tendo em vista ②, resulta:
Segue que, para todo ( 2 u, v ) ∈ , ℝ
Logo, o determinante 2 ④ é estritamente positivo para todo t ∈ ℝ e todo ( u, v ) em ℝ.
(Por quê?)
Seja 2 g ( t, u, v ), t ∈ ℝ e ( u, v ) ∈ ℝ a função dada por
Vamos mostrar, a seguir, que
ou seja,
De fato,
Tendo em vista ⑤, resulta
Segue de ③ e da relação acima que
Como
e
resulta ⑥.
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE. Se o campo de velocidade depender, também,
do tempo t, isto é, se for da forma