8.4 Teorema da divergência no plano

Seja K o compacto ABCD. (Veja figura.) Imaginemos como um campo de forças.

Como é normal aos lados BC e DA, são nulos os trabalhos realizados sobre estes lados. O módulo do trabalho realizado de A até B é maior que o módulo do realizado de C até D. Por quê? Logo, não é irrotacional, pois se fosse irrotacional, pelo teorema de Green, o trabalho ao longo da fronteira de K deveria ser nulo.

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8.4. TEOREMA DA DIVERGÊNCIA NO PLANO

Seja 2 1 γ : [ a, b ] → ℝ uma curva. Se γ for de classe C e se, para todo

então diremos que γ é regular.

Suponhamos que seja regular e injetora em ]a, b[. Podemos, então, considerar os campos vetoriais e dados por

 

e

 

Observe que é normal a Deste modo, associa a cada ponto γ (t) da imagem de γ, a < t < b, um vetor unitário e normal a γ, no ponto γ (t).

Pelo fato de estarmos supondo γ injetora em ]a, b[, o campo está bem definido.

Seja (x, y) um campo vetorial contínuo num aberto contendo a imagem de γ. Seja

um dos campos vetoriais ou . Seja a função a valores reais dada

por

 

Assim, F (γ (t)) é a componente escalar de (γ (t)) na direção (γ (t)). n

 

Pois bem, definimos o fluxo de através de γ, na direção , por

 

Seja 2 γ : [ a, b ] → ℝ uma curva fechada, simples, regular e orientada no sentido anti-horário e suponhamos que sua imagem seja a fronteira de um compacto K, com interior não vazio. Neste caso, referir-nos-emos a

como a normal exterior a K

 

 

Teorema (da divergência no plano). Seja um campo vetorial

de classe 1 2 C num aberto Ω do ℝ e seja K um compacto, com interior não vazio,

contido em Ω, cuja fronteira é imagem de uma curva fechada

de classe 1 C, simples, regular e orientada no sentido

anti-horário. Seja a normal unitária exterior a K. Então

 

Demonstração

 

onde

Segue que

 

e, portanto,

 

Pelo teorema de Green,

 

E, portanto,

 

Dizemos que 2 1 γ : [ a, b ] → ℝ é regular por partes se for C por partes e se cada “trecho”

γ 2 : [ t , t ] → ℝ satisfizer a condição Fica a seu cargo i

i −1 i

estender o teorema acima para o caso em que a fronteira de K seja regular por partes.

EXEMPLO 1. Seja Calcule o fluxo de através da fronteira γ do retângulo 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2, sendo a normal unitária que aponta para fora do

retângulo.

Solução

A normal exterior sobre o lado CD é ; a componente de (x, 2) na direção é

(x, 2) · = 8. Como a componente normal de é constante, o fluxo de através

do lado CD é o produto da componente normal pelo comprimento do lado CD. Portanto, o fluxo de através do lado CD é 16. A normal exterior sobre o lado AB é −

; o fluxo através de AB é − 2. Como é normal a , os fluxos através de BC e DA

são nulos. Temos, então

 

Poderíamos, também, ter chegado ao resultado acima aplicando o teorema da divergência.

 

onde K é o retângulo dado e sua fronteira orientada no sentido anti-horário e a

normal exterior. Como div = 3 2 y vem

 

EXEMPLO 2. 1 2 Seja de classe C num aberto Ω do ℝ. Suponha que

div é diferente de zero no ponto (x , y ) Ω. Prove que existe uma bola aberta B, de 0 0 ∈ centro (x0, y0), tal que, para todo K ⊂ B, K nas condições do teorema de Green, tem-se

 

0 onde é a fronteira de K e a normal unitária exterior a K.

Solução

Sendo 1 de classe C, div será contínuo em Ω. Para fixar o raciocínio suporemos div (x , y ) > 0. Pelo teorema da conservação do sinal, existe uma bola 0 0

aberta B, de centro (x0, y0) (podemos supor B ⊂ Ω, pois Ω é aberto) tal que, para todo (x, y) ∈ B,

div (x, y) > 0.

Segue que para todo K ⊂ B, K nas condições do teorema de Green, tem-se

 

EXEMPLO 3. Seja

a) Desenhe o campo.

b) Calcule div .

Solução

a) (x, y) é tangente à circunferência de centro na origem e que passa pelo ponto (x, y). Temos, ainda:

 

onde é o raio da circunferência de centro na origem e que passa pelo

ponto (x, y).

Observe que qualquer que seja o conjunto K da forma abaixo (veja figura), o fluxo através da sua fronteira, e na direção da normal exterior, é nulo. Por quê?

 

É razoável esperar div = 0. (Veja exemplo anterior.) b) div = 0. (Verifique.)

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Exercícios 8.4

1. Calcule sendo dados (para evitar repetição, ficará subentendido que

é unitário):

a) (x, y) = x + y , γ (t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ 2π e a normal exterior. b) (x, y) = y , γ a fronteira do quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e

(0, 1) e a normal que aponta para fora do quadrado, sendo γ orientada no sentido anti-horário.

c 2 ) ( x, y ) = x , γ (t) = (2 cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ 2π, e a normal que aponta

para fora da região

d 2 ) ( x, y ) = x , γ (t) = (2 cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ π, e a normal com

componente y ≥ 0.

e 2 ) ( x, y ) = x + y , γ ( t ) = ( t, t), 0 ≤ t ≤ 1, e a normal com componente

y < 0.

2. Prove que se · for constante sobre Im γ, então o fluxo de através de γ é

o produto de · pelo comprimento de γ, onde é normal a γ.

3. Seja e a normal unitária exterior

ao círculo 2 2 x + y ≤ 1. Calcule onde γ (t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ π.

(Sugestão. Verifique que · é constante.)

4. Desenhe o campo do exercício anterior. (Sugerimos ao leitor desenhar algumas

circunferências de centro na origem e, em seguida, desenhar o campo nos pontos destas circunferências.)

a) Olhando o desenho do campo é possível decidir se div é zero ou não?

Por quê?

b) Calcule div .

5. Seja

a) Desenhe o campo.

b) Olhando para o desenho é possível decidir se é ou não solenoidal?

(Dizemos que é solenoidal se div = 0 em seu domínio.)

6. Seja Determine α para que seja

solenoidal. Desenhe o campo para o α determinado.

7. 2 Sejam f ( x, y ) e g ( x, y ) duas funções a valores reais, de classe C, no aberto Ω

de 2 ℝ. Seja γ : [a, b] → Ω uma curva regular, fechada, simples, orientada no sentido anti-horário, fronteira de um compacto K, com interior não vazio e contido em Ω; seja a normal exterior a K. Prove:

a)

é a derivada direcional de g na direção

o laplaciano de g.)

b) (Veja Exercício 9c da Seção 2.4

deste volume.)

c)

 

8. 2 2 Seja v : Ω ⊂ ℝ → ℝ de classe C no aberto Ω e sejam γ e K como no

exercício anterior. Prove que se no interior de K e v (γ (t)) = 0 em [a, b], então v (x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ K. Suponha, ainda, que K seja um círculo.

(Sugestão. Utilize o item c do exercício anterior.)

9. Sejam γ e K como no Exercício 8. Seja F (x, y) uma função a valores reais

definida e contínua no interior de K e seja f (x) uma função a valores reais definida e contínua em [a, b]. Considere o problema com condição de fronteira

 

Prove que se 2 u e u são funções a valores reais, de classe C num aberto

1 2

contendo K, satisfazendo ①, então u = u em K. 1 2

10. 3 2

Seja e seja γ (t) = (t , sen (4 arctg t )), 0 ≤

t ≤ 1. Seja α a área do conjunto limitado pelo eixo x e pela curva γ. Calcule

onde é a normal a γ que aponta para fora do conjunto acima

mencionado.

11. Seja o campo do exercício anterior e seja

Calcule onde é a normal com componente y ≥ 0.

(Sugestão. Escolha um compacto K conveniente e aplique o teorema da divergência.)

12. 10 9 Seja ( x, y ) = x + (3 x − 10 xy) . Calcule onde γ e estão

dados pela figura abaixo.

 

13. 3 2 − 1 2 t 2 Sejam ( x, y ) = x − 3 x y , γ ( t ) = ( t, e ), 0 ≤ t ≤ 1, e γ ( t ) = ( t, t), 0 ≤ t

1 2

≤ 1.

Sejam a normal a γ com componente y > 0 e a normal a γ com 1 2 componente y < 0.

Calcule

(Sugestão. Verifique que