Um Curso de Cálculo, Volume 3
9.2 Plano tangente
3. Determine uma parametrização para o conjunto de todos (x, y, z) tais que
onde a, b e c são constantes estritamente positivas.
4. Parametrize o conjunto dado.
a 3 2 2 ) {( x , y, z ) ∈ ℝ | x + 4 y = 1}. b 3 ) {( x , y, z ) ∈ ℝ | 2x + y + 4z = 5}. c x ) Conjunto obtido pela rotação em torno do eixo z da curva y = 0 e z = e, x ≥
0.
d 3 2 2 ) {( x , y, z ) ∈ ℝ | x + y = 2x}. e) Conjunto obtido pela rotação em torno do eixo z da curva
f 2 ) Conjunto obtido pela rotação em torno do eixo z da curva y = 0 e z = x − x,
0 ≤ x ≤ 1.
9.2. P LANO TANGENTE
Seja σ 2 3 1 : Ω ⊂ ℝ → ℝ , Ω aberto, uma superfície parametrizada de classe C e seja (u0, v0) um ponto de Ω. Fixado u0, v ↦ σ (u0, v) é uma curva cuja imagem está contida na imagem de σ. Se será um vetor tangente a esta
curva no ponto σ (u , v ). De modo análogo, fixado v , podemos considerar a curva u 0 0 0 ↦ σ (u, v ); se será um vetor tangente a esta curva no
0
ponto σ (u , v ). 0 0
Se podemos considerar o plano que passa por σ (u ,
0
v ) e que seja normal ao vetor Tal plano denomina-se plano
0
tangente à superfície σ no ponto (x0, y0, z0) = σ (u0, v0) e tem por equação
Tal equação pode, também, ser colocada na forma
Seja σ: Ω 2 3 1 ⊂ ℝ → ℝ , Ω aberto, de classe C. Dizemos que σ é regular no ponto
Diremos que σ é regular em Ω se for
regular em todo ponto de Ω. Observamos que σ ser regular em Ω significa que σ admite plano tangente em todo ponto σ (u, v), com (u, v) ∈ Ω.
Exercícios 9.2
1. Determine o plano tangente à superfície dada, no ponto dado.