10 Fluxo de um campo vetorial. Teorema da divergência ou de Gauss

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FLUXO DE UM CAMPO V ETORIAL.

TEOREMA DA DIVERGÊNCIA OU DE

GAUSS

 

10.1. F LUXO DE UM CAMPO VETORIAL

Seja 2 3 1 σ : K ⊂ ℝ → ℝ de classe C, onde K é um compacto com fronteira de conteúdo nulo e interior não vazio. Suponhamos que σ seja injetora e regular no interior de K. Podemos, então, considerar os campos vetoriais e dados por

 

e

 

O campo associa a cada ponto σ (u, v) da imagem de σ, com (u, v) ∈ , um vetor unitário e normal a σ. Observe que o domínio de é o conjunto Como σ é injetora no interior de K, o campo está bem definido.

 

Seja : 3 Im σ → ℝ um campo vetorial contínuo e seja um dos campos ou página anterior. Seja a função a valores reais dada por

 

Observe que F (σ (u, v)) é a componente escalar de (σ (u, v)) na direção do vetor n

(σ (u, v)).

Pois bem, a integral de superfície

 

denomina-se fluxo de através de σ, na direção . (Veja Observação 2 da Seção 9.4.)

É frequente a notação , onde , para indicar o fluxo de

através de σ, na direção . É comum referir-se a como elemento de área orientado.

Segue da definição de integral de superfície que

Temos, então:

 

 

ou

 

Observe que pelo fato de estarmos supondo contínua em 1 Im σ, σ de classe C e

K com fronteira de conteúdo nulo, a integral

EXEMPLO 1. Considere um escoamento de um fluido com velocidade constante;

seja σ uma superfície cuja imagem é um retângulo contido na região em que se dá o escoamento e considere a normal a σ que forma com ângulo < rd. Calcule

dS e interprete.

Solução

e são constantes; logo, é constante. Assim,

 

= volume de fluido que passa através de na unidade de tempo.

 

Observe que se o fluido tem densidade ρ constante, então

 

= massa de fluido que passa através de σ na unidade de tempo.

 

■

EXEMPLO 2. Calcule o fluxo de

através da superfície

 

com normal

 

Solução

 

ou seja,

 

onde K é o retângulo 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.

 

ou seja,

e, portanto,

 

 

Observe que se olharmos como um campo de velocidade associado a um

escoamento de um fluido e se for medido em m/s, então o fluxo de através de será medido em m 3/s. Neste caso, teremos:

 

Muitas vezes, teremos que calcular o fluxo de um campo vetorial sobre “superfícies” como, por exemplo, a fronteira de um cubo, de um cilindro etc. Será conveniente, então, olhar tais “superfícies” como imagens de cadeias.

Seja 3 1 σ i i : K → ℝ ( i = 1, 2, …, n ) uma superfície de classe C, regular e injetora no interior de K , onde K é um compacto com fronteira de conteúdo nulo e interior não i i

vazio. Suponhamos que , para i ≠ j. Pois bem, a n-upla (σ , σ , 1 2 …, σn) é denominada cadeia. Definimos a imagem da cadeia (σ 1, σ2, …, σn) por

Im σ = Im σ ⋃ ⋃ ⋃ 1 Im σ 2 … Im σn.

Seja um campo vetorial contínuo sobre Im σ, onde (σ , σ , …, σn) é uma cadeia. 1 2 Seja um campo unitário normal a σi. Definimos

 

onde é um campo vetorial definido em Im σ e tal que ,

para todo (u, v) ∈ , i = 1, 2, …, n.

De agora em diante, quando se pedir para calcular onde σ é uma

“superfície” não parametrizada, entender-se-á que se trata de calcular tal integral sobre a cadeia mais “natural” (σ , σ , …, σn) cuja imagem coincida com a superfície dada. 1 2

(Veja Exercício 14 desta seção.)

EXEMPLO 3. Seja um campo

vetorial de classe 1 3 C no aberto Ω ⊂ ℝ. Considere um paralelepípedo de faces paralelas aos planos coordenados contido em Ω, com centro no ponto (x, y, z) e de arestas Δx, Δy e Δz suficientemente pequenas. Suponha que em cada face do paralelepípedo escolhe-se a normal que aponta para fora do paralelepípedo. Verifique que o fluxo de através da fronteira σ do paralelepípedo é aproximadamente div (x, y, z) Δx Δy Δz; isto é,

 

Solução

 

O fluxo de através da face ABCD é aproximadamente

De

 

segue que o fluxo através da face ABCD é aproximadamente

 

O fluxo de através da face A B C D é aproximadamente 1 1 1 1

 

De

 

segue que o fluxo através da face A B C D é aproximadamente 1 1 1 1

 

Resulta de ① e ② que a soma dos fluxos através das faces ABCD e A 1B1C1D1 é aproximadamente

 

Procedendo de forma análoga com as outras faces obtemos

 

EXEMPLO 4. Calcule , onde σ é a fronteira do cubo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, é a normal apontando para fora do cubo.

Solução

 

onde σ , σ , … σ são as faces do cubo e são, respectivamente, as 1 2 6

normais a estas faces que apontam para fora do cubo.

 

Temos:

 

onde K é o quadrado 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.

ou seja,

 

ou seja,

 

Deixamos a seu cargo verificar que:

 

Portanto,

 

EXEMPLO 5. Seja B o cubo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 e sejam e σ como no exemplo anterior. Verifique que

 

Solução

onde A é o retângulo 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1. Assim,

 

 

De acordo com o exemplo anterior . Portanto,

 

EXEMPLO 6. Seja

 

o campo elétrico criado por uma carga q localizada na origem. Calcule o fluxo de através da superfície esférica de raio r e centrada na origem, com normal apontando

para fora da esfera.

Solução

Queremos calcular onde σ é a superfície esférica de centro na origem

e raio r e . Temos:

 

pois (x, y, z) varia na superfície esférica de centro na origem e raio r. Daí,

Como = área da superfície esférica, resulta

 

Observe que o fluxo de através de σ não depende do raio da superfície esférica σ.

■

Exercícios 10.1

(Para evitar repetição, ficará subentendido que a normal que ocorre em

dS será sempre unitária.)

1. 3 Sejam B {( x, y, z ) ∈ ℝ | x ≥ 0, y ≥ 0 e 0 ≤ z ≤ 1 −x − y}, σ a fronteira de B e

. Verifique que

 

onde é a normal que aponta para fora de B.

2. 2 2 2 2 Seja σ ( u, v ) = ( u, v , 4 − u − v ), u + v ≤ 1, e seja Γ(t) = (cos t, sen t, 3); 0 ≤ t

≤ 2π. Considere o campo vetorial

a) Desenhe as imagens de e de Γ. b) Verifique que

 

onde é a normal .

 

3. 2 2 Seja B o cilindro x + y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1; seja σ a fronteira de B. Verifique que

onde e a normal a σ que aponta para fora de B.

 

4. 3 2 2 2 2 2 Seja B = {( x, y, z ) ∈ ℝ | x + y ≤ 1 e x + y + z ≤ 4} e seja a fronteira de B.

Verifique que

 

onde e a normal que aponta para fora de B.

5. 3 2 2 Considere o cilindro B = {( x, y, z ) ∈ ℝ | x + y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1} e seja

de classe 1 C num aberto contendo B. Verifique que

 

onde σ é a fronteira de B com normal apontando para fora de B.

6. 3 2 2 Considere o cilindro B = {( x, y, z ) ∈ ℝ | x + y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1} e seja

 

de classe 1 C num aberto contendo B. Verifique que

 

onde é a fronteira de B com normal apontando para fora de B.

(Sugestão: Trabalhe com a cadeia σ = (σ , σ , σ ), onde 1 2 3

σ 2 2 ( u, v ) = ( u, v , 0), u + v ≤ 1;

1

σ 2 2 ( u, v ) = ( u, v , 1), u + v ≤ 1;

2

σ (u, v) = (cos u, sen u, v), 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 1.) 3

7. 3 2 2 Considere o cilindro B = {( x, y, z ) ∈ ℝ | x + y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1} e seja

 

de classe 1 C num aberto contendo B. Verifique que

 

onde σ é a fronteira de B com normal apontando para fora de B.

(Sugestão: Utilize os Exercícios 5 e 6.)

8. 3 1 Seja σ : K → ℝ de classe C em K, injetora e regular no interior de K, onde K

é um compacto com fronteira de conteúdo nulo. Seja contínuo em Im σ. Seja a normal

 

Mostre que

 

onde P, Q e R são calculadas em σ (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)).

9. Sejam σ (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)), (u, v) ∈ K, e

como no exercício anterior. A notação

 

é usada para representar a integral

Assim,

 

onde P, Q e R são calculados em σ (u, v). (Para lembrar a relação acima, basta observar que na passagem do 1.º membro para o 2.º fizemos

du dv etc.) Verifique que

a)

 

onde é a normal

 

b)

 

onde é a normal .

 

10. 1 Seja σ a superfície z = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ K , de classe C num aberto contendo K .

(Observação. Tratase da superfície dada por x = u, y = v e z = f (u, v).) Seja

a normal a σ com componente z > 0 e seja um

campo vetorial contínuo na imagem de σ. Mostre que

 

onde P, Q e R são calculadas em (x, y, f (x, y)).

11. Considere um escoamento com velocidade (x, y, z) e densidade ρ (x, y, z),

tal que 2 seja dado por . Seja a σ superfície x

+ 2 2 y + z = 4, z ≥ , e seja a normal com componente z > 0. Calcule o fluxo de −1 através de σ. (Observe que, neste caso, o fluxo tem dimensões MT

(massa por unidade de tempo).)

12. 3 2 2 2 Seja o campo do exercício anterior e seja B = {( x, y, z ) ∈ ℝ | x + y + z ≤

4 e z ≥ }. Mostre que

 

onde é a fronteira de B e a normal unitária apontando para fora de B.

Interprete.

13. 2 2 2 Seja o campo do Exercício 11 e seja B a esfera x + y + z ≤ 4. Calcule

onde é a fronteira de B, com normal apontando para fora de B.

(Sugestão: Utilize coordenadas esféricas.)

14. 1 Sejam σ u, v ( ), ( u, v ) ∈ K e σ ( s, t ), ( s, t ) ∈ K , duas superfícies de classe C

1 1 2 2

e com imagens iguais; σ 1 e σ2 são supostas injetoras e regulares nos interiores de K1 e K2, respectivamente. Seja φ : K1 → K2 uma transformação dada por

 

e que satisfaz as condições do teorema de mudança de variáveis na integral dupla. Suponhamos que, para todo (u, v) ∈ K1,

σ1 (u, v) = σ2 (s (u, v), t (u, v)).

Seja um campo vetorial contínuo na imagem de σ e seja um campo 1 normal unitário ao conjunto Im σ1 = Im σ2. Prove que

 

ou seja, o fluxo através do conjunto Im σ1 não depende da parametrização.