A4.4 Uma propriedade da função R

onde

R (x, y) = (R1 (x, y), R2 (x, y)).

Inicialmente, vamos provar que existe um aberto Ω1, com (0, 0) ∈ Ω1, tal que F é injetora em Ω 1. Para isto vamos precisar provar, primeiro, que R (x, y) é uma contração num aberto Ω1 contendo a origem. É o que faremos na próxima seção.

A4.4. UMA PROPRIEDADE DA FUNÇÃO R

Nosso objetivo a seguir é provar que existem r 0 e 0 < λ < 1 tais que, para todo (x, y) e (s, t) na bola aberta de centro (0, 0) e raio r, tem-se

① || R (x, y) − R (s, t) || ≤ λ (x, y) − (s, t) ||.

Inicialmente, observamos que

|| R (x, y) − R (s, t) || = || (R1 (x, y), R2 (x, y)) − (R1 (s, t), R2 (s, t)) ||

= || (R1 (x, y) − R1 (s, t), R2 (x, y) – R2 (s, t)) ||

≤ R 1 (x, y) − R1 (s, t) | + | R2 (x, y) – R2 (s, t) |.

Ou seja,

② || R (x, y) − R (s, t) || ≤ R1 (x, y) − R1 (s, t) | + | R2 (x, y) − R2 (s, t) |.

(Verifique.)

Consideremos, agora, as funções

m (x, y) = || ∇ R1 (x, y) ||

e

n (x, y) = || ∇ R (x, y) ||. 2

Como 1 R e R são de classe C, as funções m (x, y) e n (x, y) são contínuas e se anulam

1 2

na origem, pois, como vimos na seção anterior, as derivadas parciais de R e R se 1 2 anulam na origem. Segue que, dado λ > 0, com 0 < λ < 1, existe r > 0 tal que

Seja Ω1 a bola aberta de raio r e centro (0, 0). Sejam (x, y) e (s, t) dois pontos quaisquer de Ω . Pelo teorema do valor médio (veja Vol. 2), existem (x , y ) e (x , y ) 1 1 1 2 2 no segmento de extremidades (x, y) e (s, t) tais que

R (x, y) − R (s, t) = 1 ∇ R (x , y ) · ((x, y) − (s, t)) 1 1 1 1

e

R2 (x, y) − R2 (s, t) = ∇ R2 (x2, y2) · ((x, y) − (s, t)).

Pela desigualdade de Schwarz, resulta

| R (x, y) − R (s, t) ≤ || R (x, y) || || (x, y s, t) || 1 1 ∇ ) − ( 1

e

| R2 (x, y) − R2 (s, t) | ≤ || ∇ R2 (x, y) || || (x, y) − (s, t) ||.

Como (x1, y1) e (x2, y2) pertencem, também, à bola aberta Ω1, resulta

| R (x, y) − R (s, t) ≤ || (x, y) − (s, t) || 1 1

e

| R (x, y) − R (s, t) ≤ || (x, y) − (s, t) ||. 2 2

De ② e das desigualdades acima resulta ①. Fica provado assim o seguinte importante resultado.