2.5 Propriedades da integral

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EXEMPLO 6. Seja B o quadrado − 1 ≤ x ≤ 1, − 1 ≤ y ≤ 1. Seja f : B → ℝ dada por

f é integrável em B? Por quê?

Solução

A fronteira de B tem conteúdo nulo (verifique). f é limitada em B, pois, para todo (x, y) ∈ B, 0 ≤ f (x, y) ≤ 1. A f só é descontínua em (0, 0); logo, o conjunto dos pontos de descontinuidade tem conteúdo nulo. Segue que f é integrável em B.

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2.5. P ROPRIEDADES DA INTEGRAL

A seguir, vamos enunciar sem demonstração algumas das principais propriedades da integral.

Sejam f e g integráveis em B e seja k uma constante. Nestas condições, tem-se:

Antes de enunciarmos e provarmos a propriedade do valor médio para integrais, vamos relembrar as definições de conjunto fechado e de conjunto compacto apresentadas no Vol. 2.

Seja 2 B ⊂ ℝ. Dizemos que B é um conjunto fechado se o seu complementar {(x, y) ∈ 2 ℝ | (x, y) ∉ B} for aberto. Deixamos a seu cargo verificar que B é fechado se e somente se B contiver todos os seus pontos de fronteira.

Seja 2 B ⊂ ℝ. Dizemos que B é um conjunto compacto se B for fechado e limitado.

VII) (Propriedade do valor médio para integrais.)

Suponhamos 2 f contínua em B ⊂ ℝ, onde B é um conjunto compacto com fronteira de conteúdo nulo. Suponhamos, ainda, que dois pontos quaisquer de B podem ser ligados por uma curva contínua, com imagem contida em B. Nestas condições, existe pelo menos um ponto (r, s) ∈ B tal que

onde α é a área de B. (Interprete, geometricamente, supondo f (x, y) ≥ 0.)

Demonstração

Como f é contínua e B compacto, pelo teorema de Weierstrass existem (x0, y0) e (x1, y 1) em B tais que

f (x0, y0) ≤ f (x, y) f ≤ (x1, y1)

para todo (x, y) em B. Daí,

e, portanto,

onde α é a área de B. Se α = 0, então teremos, também, f (x, y) dx dy = 0; logo,

para todo (r, s) em B

Suponhamos, então, α ≠ 0. Segue de ① que

Segue da hipótese que existe uma curva contínua γ : [a, b] → B tal que

γ (a) = (x0, y0) e γ (b) = (x1, y1).

Seja g : [a, b] → ℝ dada por

g (t) = f (γ (t)).

Como f e γ são contínuas, g será, também, contínua. Como

g (a) = f (γ (a)) = f (x0, y0) e g (b) = f (γ (b)) = f (x1, y1)

resulta

g (a) ≤ S ≤ g (b)

onde

Como g é contínua em [a, b], pelo teorema do valor intermediário existe t 0 em [a, b] tal que

g (t 0) = S.

Fazendo (r, s) = γ (t0) e lembrando que

g (t ) = f (γ (t )) = f (r, s) 0 0

resulta

f (r, s) = S

ou seja

Para finalizar a seção, vamos definir integral de uma função f sobre um conjunto B quando f estiver definida em todos os pontos de B, exceto nos pontos de um conjunto de conteúdo nulo contido em B.

Seja B um conjunto compacto com fronteira de conteúdo nulo. Seja f (x, y) uma função definida em todos os pontos de B, exceto nos pontos de um conjunto D de conteúdo nulo, com D contido em B. Seja g : B → ℝ tal que f (x, y) = g (x, y), para todo (x, y) y ∉ D. Definimos

desde que a integral do segundo membro exista.

Observe que a integral acima está bem definida, pois se h for outra função de B em ℝ tal que h (x, y) = f (x, y) em todo (x, y) ∉ D, com h integrável em B, então

Por quê?

2 2

EXEMPLO 1. Seja B o círculo x + y ≤ 1. Sejam f (x, y) e

seja g : B → ℝ dada por

Como g é integrável em B (verifique), segue que dx dy existe e

EXEMPLO 2. 2 2 Seja B o círculo x + y ≤ 1 e seja D a fronteira de B, isto é, D = {(x, y) ∈ 2 2 2 ℝ | x + y = 1}. Sejam

A função g é limitada em B, pois para todo (x, y) ∈ B, |g (x, y)| ≤ 1 (verifique) e é contínua em todo ( 2 2 x , y ), com x + y < 1. Como D tem conteúdo nulo, segue que g é integrável em B. Assim,

(Deixamos a seu cargo verificar que g é contínua em todos os pontos de B.)

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