8.2 Teorema de Green para conjunto com fronteira C1 por partes

9. 1 Seja y = f ( x ) de classe C em [a, b] e tal que f ' (x) > 0 em ]a, b[. Seja K o

conjunto 1 a ≤ x ≤ b e f ( a ) ≤ y ≤ f ( x ). Sejam P e Q de classe C num aberto contendo K. Prove que

onde γ é a fronteira de K orientada no sentido anti-horário.

( Sugestão. onde x = g (y) é a

inversa de y = f (x.)

10. 1 Seja y = f ( x ) de classe C em [a, b] e tal que f ' (x) < 0 em ]a, b[. Seja K o

conjunto 1 a ≤ x ≤ b e f ( x ) ≤ y ≤ f ( a ). Sejam P e Q de classe C em um aberto contendo K. Prove que

onde γ é a fronteira de K orientada no sentido anti-horário.

11. Faça uma lista de conjuntos para os quais você acha que o teorema de Green se

aplica. Justifique.

8.2. TEOREMA DE GREEN PARA CONJUNTO COM

F 1 RONTEIRA C POR PARTES

O próximo teorema, que enunciaremos sem demonstração (para demonstração veja referência bibliográfica [1]), conta-nos que o teorema de Green, visto na seção anterior, continua válido se substituirmos o retângulo por um compacto K, com interior não vazio, cuja fronteira é imagem de uma curva simples, fechada, 1 C por partes. Uma curva γ : [a, b] → Ω, fechada, se diz simples se γ (s) ≠ γ (t), quaisquer que sejam s e t em [a, b[, com s ≠ t. (Desenhe algumas curvas simples.)

Teorema de Green 2 . Seja K ⊂ ℝ um compacto, com interior não vazio, cuja

fronteira é imagem de uma curva 2 1 γ : [ a, b ] → ℝ , fechada, simples, C por partes e

orientada no sentido anti-horário. Sejam 1 P e Q de classe C num aberto contendo

K. Nestas condições,

O teorema de Green nos afirma que se 1 P e Q forem de classe C no aberto Ω e se K estiver contido em Ω, então ① se verifica. Entretanto, se K contiver um ponto que não pertença a Ω, a relação ① não terá nenhuma obrigação de se verificar. (Veja Exemplo 2.)

EXEMPLO 1. Utilizando o teorema de Green, transforme a integral de linha

numa integral dupla e calcule, onde γ é dada por γ (t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ 2π.

Solução

P 4 3 3 5 1 2 ( x, y ) = x − y e Q ( x, y ) = x + y são de classe C em ℝ. A imagem de γ é a fronteira do círculo 2 2 2 K dado por x + y ≤ 1, que está contido em ℝ. Pelo teorema de Green

Como resulta

Passando para coordenadas polares,

Portanto,

EXEMPLO 2. Calcule onde γ (t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t

≤ 2π.

Solução

são de classe 1 2 C no aberto Ω = ℝ −

{(0, 0)}. A imagem de 2 2 2 γ é a fronteira do círculo B = {( x, y ) ∈ ℝ | x + y ≤ 1}; B não está contido em Ω, pois (0, 0) ∈ B, mas não pertence a Ω. Como as hipóteses do teorema de Green não estão satisfeitas, o teorema de Green não se aplica. A integral deve ser calculada diretamente:

Observe que

■

EXEMPLO 3. 1 Sejam γ e γ duas curvas fechadas, simples, C por partes, sendo γ

1 2 1

orientada no sentido anti-horário e γ 2 no sentido horário, como na figura que se segue.

Seja B a região compreendida entre as curvas γ1 e γ2. Suponha que P (x, y) e Q (x, y) são de classe 1 C num aberto contendo B. Prove

Solução

Seja B1 a região limitada pela curva e B2 limitada pela curva Pelo teorema de Green aplicado a B1, obtemos:

Da mesma forma,

Somando-se membro a membro as igualdades acima, obtemos a relação desejada.

■

Exercícios 8.2

1. Sejam γ e K como no teorema de Green. Prove que área de

2. Calcule a área da região limitada pela curva x = t − sen t, y = 1 − cos t, 0 ≤ t ≤

2π, e pelo eixo 0x.

3. Calcule a área da região limitada pela elipse x = a cos t, y = b sen t, 0 ≤ t ≤ 2π,

onde a > 0 e b > 0.

4. 1 Calcule onde γ é uma curva fechada, simples, C por partes, cuja

imagem é a fronteira de um compacto B e

5. Calcule onde e γ a fronteira do

quadrado de vértices (−1, 0), (0, −1), (1, 0) e (0, 1).

6. 1

Calcule onde γ é uma curva fechada, C por

partes, simples, fronteira de um conjunto 2 B , cujo interior contém o círculo x +

y2 ≤ 1. (Sugestão. Aplique o teorema de Green à região K compreendida entre a curva γ e a circunferência.)

7. Calcule onde γ é a curva