6.4 Integral de linha sobre uma curva de classe C1 por partes

6.4. INTEGRAL DE LINHA SOBRE UMA CURVA DE

C 1 LASSE C POR PARTES

Uma curva 1 γ : [ a, b ] → ℝ se diz de classe C por partes se for contínua e se n

existirem uma partição a = t < t < … < t = b e curvas γi : [ti , t ] → ℝn, i = 1, 2, …, 0 1 n − 1 i n 1 de classe C, tais que, para todo t em ]ti − 1 , t [, γ (t) = γ (t): i i

 

Seja um campo vetorial contínuo no aberto Ω de ℝn e seja γ: [a, b] → Ω uma curva de classe 1 C por partes; definimos

 

EXEMPLO 1. Calcule x dx + xy dy, onde γ (t) = (t, | t |), − 1 ≤ t ≤ 1.

Solução

 

onde

e

 

 

Portanto,

 

EXEMPLO 2. Calcule x dx + y dy, onde γ é uma curva cuja imagem é a poligonal

de vértices (0, 0), (2, 0) e (2, 1), orientada de (0, 0) para (2, 1).

Solução

Uma parametrização bem natural para γ é:

 

Temos:

onde

 

e

 

Portanto,

 

Observação. Em vez de termos trabalhado com a curva

 

poderíamos ter trabalhado com

 

pois pode ser obtida de γ por uma mudança de parâmetro que conserva a 2 2

orientação.

■

EXEMPLO 3. Calcule − y dx + x dy, onde γ é uma curva cuja imagem é o triângulo

de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1), orientada no sentido anti-horário.

Solução

onde

 

 

Temos:

 

Portanto,

 

Observação: Se tivéssemos tomado

 

em lugar de

teríamos

 

Observe que é obtida de γ por uma mudança de parâmetro que reverte a orientação. 3 3

■

Exercícios 6.4

1. Calcule

 

2. 2 Calcule · d , onde ( x , y ) = ( x + y ) e γ é a curva do Exercício 1.

3. + Calcule ( x − y ) dx + e dy, onde γ é a fronteira do triângulo de vértices (0, x y

0), (0, 1) e (1, 2), orientada no sentido anti-horário.

4. Calcule dx + dy, onde γ é a poligonal de vértices A = (0, 0), A = (1, 2), A =

0 1 2

(−1, 3), A 3 = (−2, 1) e A4 = (−1, −1), sendo γ orientada de A0 para A 4.

5. 2 Calcule y dx + x dy − dz, onde γ é a poligonal de vértices A = (0, 0, 0), A =

0 1

(1, 1, 1) e A 2 = (1, 1, 0), orientada de A0 para A2.

6. 2 2 2 Calcule x dx + y dy + z dz onde γ é a curva do Exercício 5.

7. Verifique que

 

onde B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1); γ é a fronteira de B orientada no sentido anti-horário, 2 2 P ( x , y ) = x − y e Q ( x , y ) = x + y.

8. Seja B o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1); γ a fronteira de B orientada

no sentido anti-horário. Verifique que

 

onde 1 P e Q são supostas de classe C num aberto Ω contendo B.

 

9. Verifique a relação do exercício anterior supondo B o quadrado de vértices

(−1, −1), (1, −1), (1, 1) e (−1, 1); γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário.

10. 1 Sejam f, g: [ a, b ] → ℝ duas funções de classe C tais que, para todo x em [a,

b], f (x) < g (x). Seja B o conjunto de todos (x, y) tais que f (x) ≤ y ≤ g (x), a ≤ x ≤ b. Seja γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário. Prove que

 

onde 1 P é suposta de classe C num aberto que contém B.

11. Sejam B e γ como no Exercício 10. Prove que