10.2 Teorema da divergência ou de Gauss

(Sugestão: Utilize a relação do

Exercício 19 da Seção 9.3.)

 

10.2. TEOREMA DA DIVERGÊNCIA OU DE GAUSS

Seja 3 B ∈ ℝ um compacto, com interior não vazio, cuja fronteira coincide com a imagem de uma cadeia σ = (σ , σ , … σm). Suponhamos que, para cada índice i, seja 1 2

possível escolher uma normal unitária a σi, com apontando para fora de B. Seja

um campo vetorial definido na fronteira de B e que coincide com sobre σ ( ). i i

Seja 1 um campo vetorial de classe C num aberto contendo B. Pode ser provado (veja Seção 10.3 e referências bibliográficas [19] e [15]) que para uma classe bastante ampla de conjuntos B, nas condições acima, é válida a relação

 

conhecida como teorema da divergência ou de Gauss. (Observamos que a todo compacto B que ocorrer nesta seção e que satisfaça as condições descritas anteriormente, o teorema da divergência se aplica.)

Os próximos exemplos mostram algumas aplicações do teorema da divergência. Na próxima seção, destacaremos uma classe bastante ampla de compactos B para os quais o teorema da divergência se verifica.

EXEMPLO 1. Utilizando o teorema da divergência, transforme a integral de superfície

numa integral tripla e calcule, onde σ é a fronteira do cilindro

B 3 2 2 = {( x, y, z ) ∈ ℝ | x + y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}, e a normal apontando para fora de B.

Solução

Temos

 

 

onde 2 2 K é o círculo x + y ≤ 1. Portanto,

 

Segue que

 

(Sugerimos ao leitor verificar a igualdade acima, calculando diretamente

.)

■

EXEMPLO 2. Seja e seja σ a

superfície 2 2 2 x + y + z ≤ 4, z ≥ 0, sendo a normal a σ com componente z > 0. Calcule o fluxo de através de σ, na direção .

Solução

Seja 2 2 2 B o compacto x + y + z ≤ 4, z ≥ 0. Seja σ a superfície

1

σ 2 2 ( u, v ) = ( u, v , 0), u + v ≤ 4.

1

A fronteira de B coincide, então, com a imagem da cadeia (σ, σ 1). Pelo teorema da divergência,

Como div = 0, resulta

 

ou seja, o fluxo de através de σ, na direção , é igual ao fluxo de através de σ , 1 na direção . Temos

 

Mas, (x, y, z) ∈ Im 1 ⇒ z = 0. Daí

 

Portanto,

 

(Sugerimos ao leitor calcular diretamente .)

■

Seja 3 B ∈ ℝ um compacto para o qual vale o teorema da divergência e seja σ a fronteira de B, com normal apontando para fora de B. Pelo teorema da divergência teremos

 

para todo campo vetorial 1 de classe C num aberto Ω

contendo B 1 . Entretanto, se for de classe C em Ω e se B não estiver contido em Ω, a relação ① não terá nenhuma obrigação de se verificar. Veja parte b do próximo exemplo.

EXEMPLO 3. Seja

onde q é uma constante não nula.

 

a) Calcule div .

b 2 2 2 ) Calcule o fluxo de através da superfície esférica x + y + z = 1, com normal apontando para fora da esfera 2 2 2 x + y + z ≤ 1.

c 2 2 2 ) Calcule o fluxo de através da superfície esférica x + y + ( z − 2) = 1, com normal apontando para fora da esfera 2 2 2 x + y + ( z − 2) ≤ 1.

d) Calcule o fluxo de através da fronteira do cubo −2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2, − 2 ≤ z ≤ 2, com normal apontando para fora do cubo.

Solução

a) div = 0 (verifique).

b 1 3 2 2 2 ) é de classe C Ω em = ℝ {(0, 0, 0)}; seja σ a superfície esférica x + y + z = 1

e seja 2 2 2 B a esfera x + y + z ≤ 1. Então, σ é a fronteira de B. Como B não está contido em Ω, não podemos aplicar o teorema da divergência no cálculo da integral

tal integral deve ser calculada diretamente. Segue do Exemplo 6 da seção

anterior que

c 2 2 2 1 2 2 2 ) Seja σ a superfície esférica x + y + ( z − 2) = 1 e seja B a esfera x + y + ( z − 2)

1

≤ 1. Assim, σ 3 é a fronteira de B . Como B está contido em Ω = ℝ − {(0, 0, 0)}, segue

1 1 1

que o teorema da divergência se aplica. Então,

 

d) Seja σ a fronteira do cubo −2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2 e −2 ≤ z ≤ 2. Tem-se 2

onde é a normal a σ , apontando para fora do cubo. Verifique. 2

(Sugestão: Seja B o conjunto de todos (x, y, z) tais que (x, y, z) pertence ao cubo, com x 2 2 2 + y + z ≥ 1; divida B em duas partes e aplique o teorema da divergência em cada uma delas e, em seguida, utilize o item b.)

■

EXEMPLO 4. (Novamente a equação da continuidade.) Imaginemos um escoamento num aberto Ω de 3 ℝ, com velocidade (x, y, z, t) no ponto (x, y, z) e no instante t, com t 1 num intervalo aberto I ; é suposta de classe C. Seja ρ (x, y, z, t) a densidade no ponto (x, y, z) e no instante t. Seja B ⊂ Ω um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Temos:

 

onde M (t) é a massa do fluido que ocupa a região B no instante t. Como é de classe C1,

 

que é a taxa de variação, no instante t, da massa M = M (t) que ocupa a região B. Seja σ a fronteira de B, com normal apontando para fora de B. Temos:

 

Se a massa dentro de B está aumentando é porque

se a massa está diminuindo é porque Tendo em

vista o “princípio da conservação da massa” e supondo que em Ω não haja fontes e nem sorvedouros de massa, é razoável esperar que se tenha

que é a equação da continuidade na forma integral. Pelo teorema da divergência

 

 

para cada t ∈ I. De ③ e ④ resulta

 

Pelo fato de ⑤ se verificar para toda esfera contida em Ω e da continuidade do integrando resulta

 

que é a equação da continuidade na forma diferencial, equação esta já obtida na Seção 1.4. (Veja no Apêndice 3 como se chega a ③ sem utilizar a palavra razoável.)

■

EXEMPLO 5. (Interpretação para o divergente.) Seja um campo vetorial de

classe 1 3 C num aberto Ω ⊂ ℝ e seja P ∈ Ω. Seja B ⊂ Ω um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica, com P ∈ B. Seja σ a fronteira de B, com normal apontando para fora de B. Pelo teorema da divergência,

 

Sendo de classe 1 C, div é contínua em Ω; assim, dado > 0, existe δ > 0, tal que

|| X − P || < δ ⇒ | div (X) − div (P) | < .

Como (vol B = volume de B)

para todo B ⊂ Ω, com P ∈ B e diâm B < δ. (Observação: diâm B = diâmetro de B = maior de todas as distâncias entre dois pontos quaisquer de B.) Segue que

 

sempre que P ∈ B e diâm B < δ. Diremos, então, que tende a div

(P), quando B se contrai a P. Como

 

resulta que tende a div (P), quando B se contrai a P. Assim, a

divergência de em P é um fluxo por unidade de volume em P.

Se B tem diâmetro suficientemente pequeno

 

ou

isto é, se diâmetro de B for suficientemente pequeno e se P ∈ B, então o fluxo de através da fronteira σ de B será aproximadamente div (P) · vol (B), sendo a aproximação tanto melhor quanto menor for o diâmetro de B.

■

Exercícios 10.2

1. 2 3 Seja um campo vetorial de classe C num aberto Ω ⊂ ℝ e seja B ⊂ Ω um

compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Seja σ a fronteira de B, com normal apontando para fora de B. Calcule

 

2. 2 2 2 Seja ( x, y, z ) = ( x + y + z ) e seja σ a fronteira do cilindro x + y ≤ 4 e 0

≤ z ≤ 3. Calcule dS onde é a normal exterior, isto é, é a

normal que aponta para fora do cilindro.

3. Seja = x + y + z e seja B um compacto ao qual o teorema da

divergência se aplica. Prove

 

onde σ é a fronteira de B com normal exterior .

 

( 2 2 Sugestão : Aplique o teorema da divergência tomando para B o conjunto x + y

+ 2 z ≤ 1, z ≥ 0. Cuidado, σ não é a fronteira de B. Veja o Exemplo 2 desta seção.)

5. 1 3 Seja um campo vetorial de classe C no aberto Ω = ℝ − {(0, 0, 0), (1, 1,

1)} e tal que div = 0 em Ω. Sejam σ e σ superfícies esféricas de centros (0, 1 2

0, 0) e (1, 1, 1), respectivamente, e raios iguais a , com normais exteriores

e . Seja σ uma superfície esférica de centro na origem e raio 5, com normal 3

exterior . Prove que

 

6. 1 3 Seja um campo vetorial de classe C num aberto Ω de ℝ, com div = 0

em Ω. Seja B ⊂ Ω um compacto em forma de “tubo” (veja figura) ao qual o teorema da divergência se

aplica. Sejam σ e σ as secções transversais, com normais apontando para 1 2

fora e apontando para dentro de B. Suponha que seja tangente à superfície lateral do tubo.

 

7. Calcule sendo a fronteira de B com normal exterior , sendo

 

e) B é o paralelepípedo

8. 2 2 2 2 Seja σ o gráfico de f ( x , y ) = x + y , x + y ≤ 1, e seja a normal a σ com

componente z ≤ 0.

9. 3 1 Seja Ω um aberto de ℝ e seja um campo vetorial de classe C em Ω.

Suponha que

 

para toda superfície esférica σ, com normal exterior , contida em Ω. Prove,

então, que é solenoidal, isto é, div = 0 em Ω.

10. Sejam = x + y + z e r = || ||. Seja σ uma superfície esférica, com

normal exterior

 

11. 3 2 Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ → ℝ de classe C no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e

seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Prove

 

12. 1 3 a ) Sejam e dois campos vetoriais de classe C em ℝ; seja B uma esfera

com fronteira σ e normal exterior . Suponha que rot = rot e div = div

. Suponha, ainda, que · = · sobre σ. Prove que = em B.

( 3 Sugestão : Observe que existe f : ℝ → ℝ tal que ∇f = − e utilize o item c do exercício anterior.)

b) Utilizando a, prove que existe no máximo um campo vetorial satisfazendo as

condições rot 3 = em ℝ, div = f em B e · = g sobre σ, onde

0 0 0