Um Curso de Cálculo, Volume 3
5 Integrais triplas
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INTEGRAIS TRIPLAS
5.1. INTEGRAL TRIPLA: DEFINIÇÃO
Seja A o paralelepípedo a ≤ x ≤ a 1, b ≤ y ≤ b1, c ≤ z ≤ c1, onde a < a1, b < b1 e c < c 1 são números reais dados. Sejam P1: a = x0 < x1 < x2 < … < xn = a1; P2: b = y0 < y1 < y 2 < … < ym = b1 e P3: c = z0 < z1 < z2 < … < zp = c1 partições de [a, a1], [b, b1] e [c, c ], respectivamente. O conjunto de todas as ternas (x , y , z ), com i = 0, 1, 2, …, n, j = 1 i j k 0, 1, 2, …, m e k = 0, 1, 2, …, p, denomina-se partição do paralelepípedo A. Uma partição de A determina mnp paralelepípedos A ijk, onde Aijk é o paralelepípedo xi − 1 ≤ x ≤ x i, yj − 1 ≤ y ≤ yj, zk − 1 ≤ z ≤ zk.
Seja 3 B ⊂ ℝ; dizemos que B é limitado se existir um paralelepípedo A, com B ⊂ A .
Seja 3 f : B ⊂ ℝ → ℝ, com B limitado. Assim, existe um paralelepípedo A de faces paralelas aos planos coordenados que contém B. Seja P uma partição de A. Para cada terna de índices ( i, j, k), seja Xijk um ponto escolhido arbitrariamente no paralelepípedo A ijk. Pois bem, o número
onde f(Xijk) deve ser substituído por zero se Xijk ∉ B denomina-se soma de Riemann de f, relativa à partição P e aos pontos Xijk.
A integral tripla de f sobre B que se indica por f (x, y, z) dx dy dz ou por