7.4 Independência do caminho de integração. Existência de função potencial

fechada, 1 C por partes, com imagem contida em Ω.

3. 2 2 Seja Ω = {( x , y ) ∈ ℝ | ( x , y ) ∉ A }, onde A é a semirreta {( x , y ) ∈ ℝ | y = 0 e x

≥ 0}. Calcule 2 1 onde γ : [0, 1] → ℝ é uma curva C

por partes, com imagem contida em Ω, tal que γ (0) = (1, 1) e γ (1) = (1, −1).

4. Seja Ω o interior do conjunto hachurado.

Seja 2 1 γ : [ 0, 1 ] → ℝ uma curva de classe C por partes com imagem contida em Ω e tal que γ (0) = (1, 1) e γ (1) = (2, 2). Calcule

7.4. INDEPENDÊNCIA DO CAMINHO DE INTEGRAÇÃO.

EXISTÊNCIA DE FUNÇÃO POTENCIAL

Seja : Ω ⊂ ℝn → ℝn um campo vetorial contínuo no aberto Ω, com Ω conexo por caminhos. (Ω conexo por caminhos significa que, quaisquer que sejam os pontos A e B de Ω, existe uma poligonal contida em Ω e com extremidades A e B.)

Dizemos que a integral de linha é independente do caminho de

integração em Ω se, quaisquer que forem os pontos A e B de Ω, o valor da integral

permanecer o mesmo para toda curva 1 C por partes γ : [a, b] → Ω, com γ

(a) = A e γ (b) = B. Se for independente do caminho de integração em Ω, a

notação

poderá ser utilizada para indicar a integral de linha de sobre uma curva qualquer 1 C por partes γ : [ a, b ] → Ω, com γ (a) = A e γ (b) = B.

Do que vimos na seção anterior, resulta que se for conservativo e contínuo em

Ω, então a integral de linha será independente do caminho de integração em

Ω. Provaremos a seguir que se for independente do caminho de integração em

Ω, então será conservativo em Ω.

Teorema. (Existência de função potencial.) Seja : Ω ⊂ ℝn → ℝn um

campo vetorial contínuo no aberto conexo por caminhos Ω. Suponhamos que

seja independente do caminho de integração em Ω. Seja A ∈ Ω. Então a

função φ : Ω → ℝ dada por

é tal que ∇ φ = em Ω.

Demonstração

Faremos a demonstração para o caso n = 3. Seja, então, = P + Q + R . Vamos provar que

Seja X = (x, y, z) ∈ Ω; como Ω é aberto, existe uma bola de centro X contida em Ω. Tomemos h > 0 tal que o segmento de extremidades X e X + h = (x + h, y, z) esteja contido nesta bola. Temos:

Seja γ (t) = X + t , t ∈ [ 0, h ]; γ é uma curva ligando X a X + h . Então

Como γ' (t) = e (γ (t)) = P (γ(t)) + Q (γ(t)) + R (γ(t)) , resulta (γ(t)) · γ' (t) = P (γ(t)). Assim,

Aplicando L' Hospital, obtemos

Pelo teorema fundamental do cálculo,

Portanto,