Um Curso de Cálculo, Volume 3
7 Campos conservativos
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CAMPOS CONSERVATIVOS
7.1. CAMPO CONSERVATIVO: DEFINIÇÃO
Um campo vetorial : Ω ⊂ ℝn → ℝn denomina-se conservativo se existe um campo escalar diferenciável φ : Ω → ℝ tal que
Uma função φ : Ω → ℝ que satisfaz ① denomina-se função potencial de .
O próximo teorema fornece-nos uma condição necessária (mas não suficiente) para que um campo vetorial : Ω ⊂ ℝn → ℝn (n = 2, 3) seja conservativo.
Teorema 1 . Seja : Ω ⊂ ℝ → ℝ ( n = 2, 3) um campo vetorial de classe C
n n
no aberto Ω. Uma condição necessária para ser conservativo é que rot =
em Ω.
Demonstração
Suponhamos n = 3 e = P + Q + R . Supondo conservativo, existirá φ : Ω → ℝ tal que
∇φ = em Ω que é equivalente a
Como é de classe 1 2 C , resulta que φ é de classe C. Temos:
Pelo fato de 2 φ ser de classe C, segue que
e, portanto,
De modo análogo, conclui-se que
Logo, rot = em Ω.
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Mais adiante daremos exemplo de um campo vetorial , não conservativo, com
rotacional , que mostrará que a condição rot = é necessária, mas não suficiente, para ser conservativo.