11 Teorema de Stokes no espaço

11

 

 

TEOREMA DE STOKES NO ESPAÇO

 

11.1. TEOREMA DE STOKES NO ESPAÇO

Seja σ : 3 K → ℝ uma porção de superfície regular; isto significa que K é um compacto com fronteira 1 1 C por partes, σ é injetora e de classe C em K e, para todo (u, v) ∈ K,

 

(Dizer que 1 K é um compacto com fronteira C por partes significa que o interior é não vazio e que a sua fronteira é imagem de uma curva simples, fechada e 1 C por partes.)

Seja 2 1 γ : [ a, b ] → ℝ uma curva simples, fechada, C por partes, cuja imagem é a fronteira de 3 K . Consideremos, agora, a curva Γ : [ a, b ] → ℝ dada por

Γ (t) = σ (γ(t)), t ∈ [a, b].

Como σ é injetora e de classe 1 1 C , resulta que Γ é, também, fechada, simples e C por

partes. Dizemos que Γ é uma curva fronteira de σ. Se γ estiver orientada no sentido anti-horário e

se então referir-nos-emos a Γ como curva fronteira de

σ orientada positivamente em relação a .

 

EXEMPLO 1. 1 Seja σ dada por x = u , y = v , z = f ( u, v ), ( u, v ) ∈ K , com f de classe C

num aberto contendo K. Tem-se

 

Assim, a normal aponta para cima.

EXEMPLO 2. Seja σ dada por x = cos u, y = sen u e z = v, 0 ≤ u ≤ e 0 ≤ v ≤ 1.

Temos

 

Segue que

onde

 

Teorema de Stokes 3 . Seja σ : K → ℝ uma porção de superfície regular dada

por σ (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) onde x = x (u, v), y = y (u, v) e z = z (u, v)

são supostas de classe 2 C num aberto contendo K. Seja = P + Q + R um

campo vetorial de classe 1 C num aberto que contém Im σ. Nestas condições, tem-

se

 

onde Γ é uma curva fronteira de σ orientada positivamente em relação à normal

 

Demonstração

Como Γ é uma curva fronteira de σ orientada positivamente em relação à normal acima, segue que Γ ( 1 t ) = σ ( γ ( t )), t ∈ [ a, b ], onde γ é fechada, simples, C por partes, com imagem igual à fronteira de K e orientada no sentido anti-horário. Sendo σ dada por x = x (u, v), y = y (u, v) e z = z (u, v) e γ (t) = γ (t) (u (t), v (t)) resulta

Γ (t) = (x (u (t), v (t)), y (u (t), v (t)), z (u (t), v (t))), t ∈ [a, b].

Temos:

onde as derivadas parciais são calculadas no ponto σ (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) e os determinantes jacobianos no ponto (u, v). Por outro lado,

 

Vamos mostrar que

 

Temos:

 

Como

 

resulta

Pelo teorema de Green,

 

 

Temos

 

Como 2 x = x ( u, v ), y = y ( u, v ) e z = z ( u , v ) são supostas de classe C, vem:

 

Substituindo em ②, resulta ①. De modo análogo, prova-se que

 

e

 

Somando ①, ③ e ④ resulta o teorema.

■

Quando Γ é uma curva fechada é comum referir-se à integral como a

circulação de sobre Γ. O teorema de Stokes conta-nos, então, que a circulação de

sobre a fronteira de σ, orientada positivamente com relação à normal é igual ao fluxo do rotacional de através de σ.

 

Lembrando as notações o teorema de Stokes pode

ser colocado na forma

 

EXEMPLO 3. Calcule σ (u, v)

= ( 2 2 2 2 u, v , 2 − u − v ), com u + v ≤ 1, sendo a normal apontando para cima.

Solução

1.º Processo (cálculo direto)

 

Por outro lado,

e, assim,

 

 

é a normal apontando para cima, pois a componente de é positiva. Então,

 

onde 2 2 K é o círculo u + v ≤ 1. Passando para polares,

 

ou seja,

 

2.º Processo (aplicando Stokes)

Pelo teorema de Stokes,

Temos

 

Como

 

resulta

 

EXEMPLO 4. Calcule o fluxo do rotacional de (x, y, z) = x + y + xyz através da superfície z = 1 + x + y, x ≥ 0, y ≥ 0 e x + y ≤ 1, com normal apontando

para baixo.

Solução

é uma parametrização para a superfície dada.

 

 

assim,

 

aponta para cima, pois a componente de é positiva. Segue que = − ; logo,

 

Vamos calcular aplicando Stokes.

γ1 (t) = (t, 0), 0 ≤ t ≤ 1; γ2 (t) = (1 − t, t), 0 ≤ t ≤ 1, e γ3 (t) = (0, 1 − t), 0 ≤ t ≤ 1.

Segue que

Γ (t) = σ (γ (t)) = (t, 0, 1 + t), 0 ≤ t ≤ 1; 1 1

Γ (t) = σ (γ (t)) = (1 − t, t, 2), 0 ≤ t ≤ 1; 2 2

Γ3 (t) = σ (γ3 (t)) = (0, 1 − t, 2 − t), 0 ≤ t ≤ 1.

Então,

 

Portanto,

 

e daí

Poderíamos ter chegado a este resultado calculando diretamente a integral

Faça você este cálculo.

■

EXEMPLO 5. 1 ( Interpretação para o rotacional .) Seja de classe C no aberto Ω de ℝ3 e sejam P um ponto de Ω e um vetor unitário. Seja, agora, um plano passando

por 1 P e normal a . Sendo de classe C resulta que rot · é contínua em α ∩ Ω. Assim, dado > 0 existe δ > 0 tal que, para todo X ∈ α ∩ Ω,

 

Para toda porção de superfície regular σ, passando por P, e com imagem contida em α temos:

 

desde que o diâmetro de σ seja menor que δ. Segue que

 

sempre que P ∈ Im σ e diâm σ < δ. Diremos, então, que tende a rot (P) · quando σ se contrai a P. Como

 

onde Γ é uma curva fronteira de σ orientada positivamente com relação a , resulta

que

 

tende a rot (P) · quando σ se contrai a P. Assim, para diâmetro de σ suficientemente pequeno

 

ou seja: a circulação de sobre Γ é aproximadamente o produto da área de σ pela componente do rotacional de em P, na direção , sendo a aproximação tanto melhor quanto menor for o diâmetro de σ. A componente de rot (P), na direção ,

pode, então, ser interpretada como circulação por unidade de área no ponto P.

Exercícios 11.1

1. Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral numa

integral de linha e calcule.

2. Seja um campo vetorial de classe 1 C no aberto Ω. Sejam σ e σ porções de

1 2

superfícies regulares com fronteiras Γ e Γ orientadas positivamente com 1 2 relação às normais e e tais que Im σ e Im σ estejam contidas em Ω. 1 2 Suponha, ainda, que Γ 1 é obtida de Γ2 por uma mudança de parâmetros que conserva a orientação (veja Seção 6.3). Prove

 

Interprete.

3. Seja σ : 3 K → ℝ regular no interior de K e injetora em K; suponha que as

componentes de σ, 2 x = x ( u, v ), y = y ( u, v ) e z = z ( u, v ), sejam de classe C

num aberto contendo K. Suponha que K tenha a forma abaixo, onde γ : [a , b ] 1 1 1 → 2 ℝ

 

e 2 1 γ : [ a , b ] → ℝ são curvas simples, fechadas, C por partes, sendo γ

2 2 2 1

orientada no sentido anti-horário e γ2 no sentido horário e tais que a fronteira de K é igual a Im γ1 ᴜ Im γ2. Sejam Γ1 (t) = σ(γ1 (t)), t ∈ [a1, b1], e Γ2 (t) = σ (γ2 (t)), t ∈ [a , b ]. 2 2

 

Seja = 1 P + Q + R de classe C num aberto contendo Im σ e seja

 

Prove que

4. 2 4 2 2 2 Seja ( x , y , z ) = xz + z + yz e seja σ a superfície x + y + z = 4, com

 

≤ z ≤ , com normal apontando para cima. Utilizando o exercício

anterior, calcule

5. 3 2 2 Seja ( x , y , z ) = x e seja σ a superfície z = y + 4 com 1 ≤ x + y ≤ 4, com

normal apontando para baixo. Calcule

6. 1 3 Seja = P + Q + R de classe C no aberto ℝ − {(0, 0, 0)}. Seja σ a

fronteira do conjunto

K 3 2 2 2 2 = {( x, y, z ) ∈ ℝ | x + y − 1 ≤ z ≤ 1 − x − y}

com normal apontando para fora de K. Mostre que

(Cuidado: O teorema da divergência não se aplica.)

7. 3 2 2 Seja σ a superfície {( x, y, z ) ∈ ℝ | x + y = 1, 0 ≤ z ≤ 1} e seja um campo

vetorial de classe 1 C num aberto contendo σ. Justifique a afirmação

 

onde Γ 1 (t) = (cos t, sen t, 0), 0 ≤ t ≤ 2π, Γ2 (t) = (cos t, − sen t, 1), 0 ≤ t ≤ 2π, e

a normal apontando para fora do cilindro.

(Sugestão: Aplique o teorema de Stokes às porções de superfícies regulares σ1 (u, v) = (cos u, sen u, v), 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 1, e σ2 (u, v) = (cos u, sen u, v), π ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 1.)

8. 3 2 2 2 2 Seja σ a superfície {( x, y, z ) ∈ ℝ | x + y + z = R, z ≥ 0} (R > 0) e seja um

campo vetorial de classe 1 C num aberto contendo σ. Justifique a afirmação

 

onde Γ (t) = (R cos t, R sen t, 0), 0 ≤ t ≤ 2π, e a normal apontando para fora

da esfera 2 2 2 2 x + y + z ≤ R.

9. Calcule a

superfície 2 2 2 x + y + z = 1, z ≥ 0, e a normal apontando para fora da esfera. (Sugestão: Utilize o Exercício 8.)

10. Calcule

a

superfície 2 2 2 x + y + z = 1 e a normal apontando para fora da esfera.

(Cuidado: O teorema da divergência não se aplica. Por quê? Aplique o teorema de Stokes a cada semissuperfície esférica e some.)

11. Calcule onde σ é a reunião das faces MNJ, OMN e ONJ do

tetraedro abaixo, a normal apontando para fora do tetraedro e (x, y, z) = −y + x + xyz .

 

MNJ é a superfície x + y + z = 1, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0.

(Sugestão: Aplique o teorema de Stokes a cada face e conclua que

onde Γ é a fronteira do triângulo OMJ orientada no

sentido anti-horário.)

12. O teorema de Stokes estende-se à faixa de Möbius? Discuta.

13. 1 Seja um campo de classe C num aberto contendo a fronteira do cubo 0 ≤ x ≤

1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1. Seja a normal apontando para fora do cubo. Mostre

que (Sugestão: Aplique o teorema de Stokes a cada face e

some.)

14. Seja r > 0 um real dado e considere a superfície

σ (φ, θ) = (r sen φ cos θ, r sen φ sen θ, r cos φ)

com (φ, θ) ∈ K, onde K é o retângulo 0 ≤ φ ≤ e 0 ≤ θ ≤ 2π, no plano φθ. (Observe que a imagem de σ é a semissuperfície esférica

x 2 2 2 2 + y + z = r, z ≥ 0.)

Seja γ a fronteira de K orientada no sentido anti-horário. Seja Γ 1 dada por

Γ 1 (t) = σ(γ(t)).

a) Desenhe a imagem de Γ 1.

b 1 )

Mostre que é de classe C num aberto

contendo a imagem de σ e Γ a curva dada por Γ (t) = (cos t, sen t, 0), 0 ≤ t ≤ 2π.

c) Utilizando o teorema de Stokes, conclua que

 

onde é a normal que aponta para fora da esfera.

(Sugestão: Observe que na demonstração do teorema de Stokes não se utiliza a hipótese de σ ser injetora na fronteira de K.)

d) Utilizando b e c, conclua que