4.2 Mudança de variáveis na integral dupla

Solução

a)

 

b)

 

pois, Observe que o comprimento do

segmento MN é Δρ e o do arco MQ é ρ Δθ. Deste modo, a área de B é aproximadamente a área de um retângulo de lados Δρ e Δθ.

■

4.2. MUDANÇA DE VARIÁVEIS NA INTEGRAL DUPLA

Seja 2 2 1 φ : Ω ⊂ ℝ → ℝ , Ω aberto, uma transformação de classe C e seja B um

uv

subconjunto de Ω. Seja B a imagem de Buv pela transformação φ. Suponhamos, por um momento, que Buv seja um retângulo de lados paralelos aos eixos e que φ seja injetora no interior de Buv. (O interior de Buv é, por definição, o conjunto formado pelos pontos interiores de Buv.) Seja

P = {(ui, vj) | i = 0, 1, 2, …, n e j = 0, 1, 2, …, m}

uma partição de Buv.

 

Seja R o retângulo ui ≤ u ≤ u , vj ≤ v ≤ v e seja B a imagem de R pela φ. Temos: ij − 1 i − 1 j ij ij

 

Consideremos, agora, uma função f (x, y), a valores reais, contínua em B.

Indicando por α (B ) a área de B , devemos ter ij ij

 

sendo razoável esperar que a soma do 2.˚ membro tenda para a integral do 1.˚ membro quando Δ tende a zero, onde Δ é o maior dos números Δui e Δvj, i = 1, 2, …, n e j = 1, 2, …, m. Como

e

 

resulta que a soma que aparece em ① é aproximadamente

 

Da continuidade de f (φ (u, v)) no retângulo B , segue que ②

uv

tende a

 

quando Δ tende a zero. É razoável, então, esperar que

 

ou

 

pois, como vimos na seção anterior,

 

O próximo teorema que enunciaremos sem demonstração (para demonstração veja referência bibliográfica [33]) conta-nos que condições são suficientes impor a f, φ e B uv para que ③ se verifique.

Notação. Seja A um conjunto. O conjunto dos pontos interiores de A será indicado por Å .

 

Teorema 2 ( de mudança de variáveis na integral dupla ). Seja φ : Ω ⊂ ℝ →

ℝ2 1 , Ω aberto, de classe C, sendo φ dada por (x, y) = φ (u, v), com x = x (u, v) e y

= y (u, v). Seja Buv ⊂ Ω, Buv compacto e com fronteira de conteúdo nulo. Seja B a

imagem de Buv, isto é, B = φ (Buv). Suponhamos que φ ( uv) = . Suponhamos,

ainda, que φ seja inversível no interior de Buv e que, para todo (u, v) ∈ uv,

Nestas condições, se f (x, y) for integrável em B, então

 

EXEMPLO 1. Calcule dx dy, onde B é o trapézio

1 ≤ x + y ≤ 2, x ≥ 0 e y ≥ 0.

Solução

Façamos a mudança de variável u = x − y, v = x + y. Temos:

 

De

 

segue que

 

Observe que a transformação (u, v) = ψ (x, y) dada por

 

é a inversa de (x, y) = φ (u, v) dada por

 

e que 1 2 φ é de classe C em ℝ.

A seguir, vamos determinar Buv de modo que B = φ (Buv). Como ψ é a inversa de φ, segue, então, que Buv é a imagem de B pela ψ.

Observe que ψ transforma as retas x + y = 1, x + y = 2, y = 0 e x = 0, respectivamente, nas retas v = 1, v = 2, v = u e v = − u. Observe, ainda, que φ ( uv) = .

 

Segue que

 

Como

 

segue que

 

EXEMPLO 2. (Envolvendo coordenadas polares.) Calcule

onde 2 2 B é o semicírculo x + y ≤ 1, y ≥ 0.

 

Solução

Façamos a mudança de variável

 

Temos:

 

Assim,

 

Como este resultado irá ocorrer várias vezes, sugerimos ao leitor decorá-lo.

Vamos, agora, determinar Bρθ tal que B = φ (Bρθ), onde φ é a transformação ①.

Para que o ponto S permaneça no semicírculo B é suficiente que θ pertença ao intervalo [0, π] e ρ ao intervalo [0, 1]. Quando o ponto (ρ, θ) descreve o retângulo Bρθ = {(ρ, θ) ∈ 2 ℝ | 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π}, o ponto S descreverá o semicírculo B. A φ transforma αo retângulo Bρθ no semicírculo B.

Temos, então:

 

Como

 

resulta

 

Observação. 1 2 Note que φ é de classe C em ℝ; φ é inversível no interior de B e φ ( ρθ

ρθ ρθ = . Além disso, para todo ( ρ , θ ) ∈,

 

Observe que 2 = {( ρ , θ ) ∈ ℝ | 0 < ρ < 1, 0 < θ < π}. ρθ

EXEMPLO 3. Calcule dx dy, onde B é o triângulo de vértices (0, 0),

(1, 0) e (1, 1).

Solução

A mudança de variáveis para coordenadas polares elimina a raiz do integrando, o que poderá facilitar as coisas. Vamos, então, tentar o cálculo da integral em coordenadas polares.

Vamos, agora, determinar Bθρ.

 

A equação da reta x = 1 é, em coordenadas polares, ρ cos θ = 1, ou seja, ρ = =

sec θ. Deste modo, para cada θ fixo em ρ deverá variar de 0 a sec θ. Bθρ é,

então, o conjunto de todos (θ, ρ) tais que 0 ≤ θ , 0 ≤ ρ ≤ sec θ.

 

Temos:

Como

 

resulta

 

portanto,

 

ou seja,

 

EXEMPLO 4. Calcule

Solução

Primeiro vamos determinar a região de integração. Para cada x fixo em [0, 1], y deve variar de 0 a x; a região B de integração é, então, o conjunto de todos (x, y) tais que 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, ou seja, B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1). Assim,

A mudança de variável

 

 

elimina a raiz do integrando. (Observe que 2 2 2 x + 3 y = ρ.) Temos:

 

Assim

 

Vamos, agora, determinar Bθρ.

 

Observe que ① transforma a reta x = 1 na curva ρ = sec θ; por outro lado, ① transforma a reta y = x na reta θ = .

Temos, então:

 

Como

 

resulta

 

e, portanto,

 

EXEMPLO 5. Calcule

Solução

Façamos

I (r) = área da região hachurada

Temos:

 

Sejam B e B os círculos inscrito e circunscrito, respectivamente, ao quadrado − r 1

≤ x ≤ r, − r ≤ y ≤ r; o raio de B é r e o de B1 é r. Temos:

 

Pela mudança de variável x = ρ cos θ, y = ρ sen θ obtemos

De modo análogo,

 

 

Assim,

 

ou

 

Como

 

segue, pelo teorema do confronto,

 

ou seja,

 

EXEMPLO 6. Calcule

 

onde B é o conjunto de todos (x, y) tais que

x2 ≤ y ≤ x. Solução

 

B é o conjunto hachurado. Vamos tentar uma mudança para coordenadas polares

 

Vejamos, inicialmente, como fica a equação da parábola 2 y = x em coordenadas polares. Temos

ρ 2 sen θ = ( ρ cos θ )

daí

 

é a equação, em coordenadas polares, de 2 y = x, x ≥ 0.

Bθρ é, então, o conjunto

 

Vamos, agora, calcular a integral do 2.˚ membro

 

Assim

 

Temos

Daí

 

O cálculo da integral do 2.˚ membro fica para o leitor. (Sugestão. Utilize a fórmula de recorrência

 

Veja Vol. 1.)

■

EXEMPLO 7. Calcule

 

onde B é o conjunto de todos (x, y) tais que

y 2 2 2 ≥ x − x e x + y − x ≤ 0.

Solução

 

A parábola 2 2 2 y = x − x e a circunferência x + y − x = 0 interceptam-se nos pontos (0, 0) e (1, 0). (Verifique.) Observamos que y = x é a reta tangente à parábola no ponto (0, 0).

B é o conjunto hachurado. Vamos fazer uma mudança de variáveis para coordenadas polares. Vejamos como fica, em coordenadas polares, a equação 2 y = x − x, 0 ≤ x ≤ 1.

ρ 2 2 sen θ = ρ cos θ − ρ cos θ

e, portanto,

 

Observe que para cobrir o gráfico de 2 y = x − x, 0 ≤ x ≤ 1, θ deve variar de 0 a . Fica

a seu cargo verificar que

ρ = cos θ

é a equação, em coordenadas polares, da circunferência 2 2 x + y − x = 0.

Para cobrir o conjunto B, θ deverá variar de 0 a . Para cada θ fixo em ρ

deverá variar de

 

Para cada θ fixo em ρ deverá variar de 0 a cos θ.

 

Temos

 

Segue que

 

Daí

Fica a cargo do leitor o cálculo das integrais do 2.˚ membro. (Sugestão:

 

(utilize a fórmula de recorrência mencionada no exemplo anterior);

 

EXEMPLO 8. Calcule

 

onde 2 2 B é o conjunto x + 4 y ≤ 1.

Solução

Façamos a mudança de variáveis

 

ou seja

Temos

 

Assim,

 

isto é, o módulo do determinante jacobiano é igual a .

A mudança de variáveis ① transforma o retângulo

Bθρ = {(θ, ρ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ 1}

no conjunto B dado.

 

Observe que, para cada ρ fixo no intervalo [0, 1], a mudança de variáveis ① transforma o segmento

{(θ, ρ) | 0 ≤ θ ≤ 2π}

na elipse

x2 2 2 + 4 y = ρ.

Temos, então,

 

e, portanto,

 

EXEMPLO 9. Calcule

 

onde 2 2 B é o círculo x + y − x ≤ 0.

Solução

2 2 2 2 2 x − x − y = 1 − ( x − 1) − y

Façamos

 

o que significa que estamos tomando coordenadas polares com pólo no ponto (1, 0).

Substituindo 2 2 ① na equação x + y − x = 0 obtemos

Para cada θ fixo em ρ deverá variar de 0 a − cos θ.

 

Temos

dx dy = ρ dρ dθ.

Então

 

e, portanto,

 

Para calcular 2 dρ façamos a mudança de variável u = 1 − ρ e,

portanto, du = −2ρ dρ. Então

 

Segue que

(Cuidado. Temos, então,

 

 

Para calcular a integral que ocorre no 2.˚ membro procedemos da seguinte forma:

 

pois,

 

Observando que sen 3 2 θ = sen θ (1 − cos θ), temos

 

e

 

Conclusão.

Exercícios 4.2

1. Calcule

a 2 2 2 ) ( x + 2 y ) dx dy onde B é o círculo x + y ≤ 4.

b 2 2 2 2 2 ) ( x + y ) dx dy onde B = {( x , y ) ∈ ℝ | 1 ≤ x + y≤ 4}.

c 2 2 2 ) x dx dy onde B é o conjunto 4 x + y ≤ 1.

d 2 2 2 2 ) sen (4 x + y ) dx dy onde B é o conjunto de todos ( x , y ) tais que 4 x + y

≤ 1 e y ≥ 0.

e 2 2 + 2 2 ) e dx dy onde B é o conjunto de todos ( x , y ) tais que 1 ≤ x + y ≤ 4, − x y

x ≤ y ≤ x, x ≥ 0.

f) dx dy onde B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1).

g) x dx dy onde B é o conjunto, no plano xy, limitado pela cardioide ρ = 1

− cos θ.

h 2 )

dx dy onde B é o conjunto de todos (x, y) tais que 1 + x ≤ y ≤ 2

+ 2 2 x , y ≥ x + x e x ≥ 0.

i 2 2 ) x dx dy onde B é o círculo x + y − x ≤ 0.

j) dx dy onde B é o quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

k 2 2 2 2 ) y dx dy onde B = {( x , y ) ∈ ℝ | x + y ≤ 1, y ≥ x e x ≥ 0}.

l)

 

2. Passe para coordenadas polares e calcule

h 2 2 ) xy dx dy onde B é o círculo x + y − 2y ≤ 0, x ≥ 0.

3. Calcule dx dy onde B é o paralelogramo de vértices (0, 0),

 

4. Calcule a área da região limitada pela elipse

5. 2 2 2 2 Sejam A = {( x , y ) ∈ ℝ | 1 + x ≤ y ≤ 2 + x , x ≥ 0 e y ≥ x + x} e B = {(u, v) ∈

ℝ 2 | 1 ≤ v ≤ 2, v ≥ u e u ≥ 0}.

a 2 ) Verifique que B = φ ( A ) onde ( u, v ) = φ ( x , y ), com u = x e v = y − x. b) Verifique que a área de A é igual à área de B.

6. Seja B o conjunto Verifique que

 

7. 2 2 2 Seja B o conjunto ( x − α ) + ( y − β ) ≤ r (r > 0, α e β reais dados). Verifique

que