Apêndice 4 Teoremas da função inversa e da função implícita

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Apêndice

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TEOREMAS DA FUNÇÃO INVERSA E

DA FUNÇÃO IMPLÍCITA

A4.1. F UNÇÃO INVERSA

Seja n n F : A ⊂ ℝ → ℝ uma função injetora e seja B = ImF. Assim, para cada Y ∈ A existe um único X ∈ B tal que

F (Y) = X

Pois bem, a função G, definida em B, dada por

G (X) = Y ⇔ F (Y ) = X

denomina-se função inversa de F.

Se F for uma função que admite inversa, então diremos que F é uma função inversível. Observe que se F for uma função inversível com inversa G então G será, também, inversível, e sua inversa será F. De acordo com a definição acima, para todo X ∈ A, temos

G (F (X)) = X

e, para todo X ∈ B,

F (G (X)) = X.

Consideremos a função 2 2 F : A ⊂ ℝ → ℝ dada por

F (x, y) = (f (x, y), g (x, y)).

Seja B = F (A). Dizer, então, que F é uma função inversível significa dizer que existem duas funções p e q, a valores reais, tais que, para todo (x, y) ∈ A e (u, v) ∈ B,

Observe, ainda, que, para todo (x, y) ∈ A ,

e, para todo (u, v) ∈ B,

Para facilitar a escrita, de agora em diante só trabalharemos com funções de duas variáveis reais a valores em 2 ℝ. Todos os resultados que iremos provar para tais funções se estenderão sem nenhuma modificação para funções de n variáveis reais a valores em , ℝ com n >2.

n

Seja 2 2 F : A ⊂ ℝ → ℝ dada por

F (x, y) = (f (x, y), g (x, y))

e tal que f e g admitam derivadas parciais em (x , y ) A. A matriz 0 0 ∈

denomina-se matriz jacobiana de F em (x0, y0) e é indicada por JF (x0, y0).

EXEMPLO 1. 2 3 2 Calcule a matriz jacobiana de F ( x, y ) = ( x , x + y) no ponto (x, y).

Solução

EXEMPLO 2. 2 2 Seja F : A ⊂ ℝ → ℝ, A aberto, dada por F (x, y) = (f (x, y), g (x, y)), com f e g diferenciáveis em A. Seja B = F (A), B aberto, e suponha que F seja inversível com inversa G diferenciável em B. Supondo que a matriz jacobiana de F seja inversível em todo (x, y) ∈ A, mostre que a matriz jacobiana de G, no ponto (u, v) = F (x, y), é igual à inversa da matriz jacobiana de F calculada no ponto (x, y).

Solução

Suponhamos G (x, y) = (p (x, y), q (x, y)). Assim

Observe que a matriz jacobiana de G, no ponto (u, v), é

Derivando em relação a u os dois membros de u = f (x, y) obtemos:

Derivando, agora, em relação a ν resulta

Derivando em relação a u e depois em relação a ν os dois membros de ν = g (x, y), obtemos:

Das identidades acima e tendo em vista o produto de matrizes, segue que

e, portanto,

ou seja,

JG −1 ( u, v ) = ( JF ( x, y ))

onde (x, y) = G (u, v).

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