2.3 Conjunto de conteúdo nulo

Para podermos enunciar uma condição suficiente para integrabilidade, precisamos antes definir conjunto de conteúdo nulo; é o que veremos na próxima seção.

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2.3. CONJUNTO DE CONTEÚDO NULO

Seja 2 D um subconjunto de ℝ. Dizemos que D tem conteúdo nulo se para todo > 0 dado existir um número finito de retângulos A 1, A2, …, An tais que

D ⊂ A ⋃ A ⋃ … ⋃ A 1 2n

e

onde m (A i) é a área do retângulo A i.

Grosso modo, dizer que D tem conteúdo nulo significa que D pode ser coberto por um número finito de retângulos cuja soma das áreas seja tão pequena quanto se queira. Conjunto de conteúdo nulo tem área zero, como veremos mais adiante. (Veja propriedade IV da Seção 2.5.)

EXEMPLO. Seja f : [a, b] → ℝ contínua em [a, b]. Prove que o gráfico de f tem conteúdo nulo.

Solução

Sendo f contínua em [a, b], f será integrável em [a, b]. Então, dado > 0, existe δ > 0 (com δ dependendo apenas de e não da escolha dos c i em [xi − 1, xi]) tal que

para toda partição de [a, b], com máx Δx < δ. Sejam s e t , respectivamente, os pontos i i i de máximo e de mínimo de f em [x x a, b i − 1 , i ]. Segue que, para toda partição de [], com máx Δxi < δ,

Assim, para toda partição P : a = x0 < x1 < x2 < … < xn− 1 < xn = b, com máx Δxi < δ,

Suponhamos f (s i) ≠ f (ti) para i = 1, 2, …, n. Segue que a área do retângulo Ai é (veja figura na página seguinte)

[f (s i) − f (ti)] Δxi, i = 1, 2, …, n.

Observe que os retângulos A 1, A2, …, An, cobrem o gráfico de f e, além disso, a soma das áreas destes retângulos é menor que . Portanto, o gráfico de f tem conteúdo nulo. Deixamos o leitor pensar na demonstração no caso em que exista i tal f (s ) = f (t ). i i

Seja γ: [ 2 1 1 a, b ] → ℝ uma curva de classe C em [ a, b ]. (Lembre-se: γ de classe C

em [a, b] significa que γ tem derivada contínua em [a, b].) Pode ser provado (veja referência bibliográfica [20]) que a imagem de γ tem conteúdo nulo. No que segue, admitiremos tal resultado.

Seja γ: [ 2 1 a, b ] → ℝ uma curva. Dizemos que γ é de classe C por partes se γ for contínua e se existir uma partição de [a, b], a = t < t < t < … < t = b, e curvas de 0 1 2 n classe 1 C

γ 2 i : [ t i − 1, t ] → ℝ (i = 1, 2, …, n)

i

tais que

γ (t) = γi (t) em ]ti − 1, ti[.

γ é de classe 1 C por partes

Tendo em vista que a reunião de um número finito de conjuntos de conteúdo nulo tem conteúdo nulo (verifique), resulta que a 2 imagem de uma curva γ : [ a, b ] → ℝ de classe C 1 por partes tem conteúdo nulo.