A4.2 Diferenciabilidade da função inversa

Seja 2 2 F : Ω ⊂ ℝ → ℝ diferenciável e inversível no aberto Ω com inversa G : Ω

1 1 2

⊂ 2 2 ℝ → ℝ,Ω = F (Ω ) aberto. Sejam (x , y ) ∈ Ω e (u , v ) = F (x , y ). Na próxima

2 1 0 0 1 0 0 0 0

seção vamos provar que se JF (x , y ) for inversível e se G for contínua em (u , v ), 0 0 0 0 então G será diferenciável em (u , v ). Observe que este resultado é uma extensão 0 0 daquele que vimos para funções de uma variável real a valores reais. (Veja teorema da Seção 8.2 do Vol. 1.)

A4.2. DIFERENCIABILIDADE DA FUNÇÃO INVERSA

Seja 2 2 F : Ω ℝ → ℝ diferenciável e inversível no aberto Ω , com inversa G : ⊂

1 1

Ω 2 2 ⊂ ℝ → ℝ, Ω = F Ω( ) aberto. Seja (x , y ) e (u , v ) = F (x , y ). Nosso objetivo,

2 2 1 0 0 1 0 0 0 0

a seguir, é provar que se a matriz jacobiana JF (x0, y0) for inversível e se G for contínua em (u0, v0), então G será diferenciável em (u0, v0).

Sejam, então,

F (x, y) = (f (x, y), g (x, y))

e

G (u, v) = (p (u, v), q (u, v))

e tais que, para todo (x, y) ∈ Ω1 e (u, v) ∈ Ω2,

 

Precisamos provar, então, que existem reais a, b, c e d tais que

 

com

(Observe que pelo que vimos na seção anterior deveremos ter

 

Como as funções u = f (x, y) e v = g (x, y) são diferenciáveis em (x 0, y0), temos

 

com

 

Fazendo

 

② pode ser colocada na forma matricial

 

onde −1 M é a matriz inversa de M. Fazendo, agora, a mudança de variável

 

obtemos

onde

 

 

Observe que ③ é exatamente ② se tomarmos

 

Vamos provar, então, que

 

Para isto, é suficiente provar que

 

Fazendo a mudança de variável,

 

e lembrando que p (u, v) e q (u, v) são contínuas e que x0 = p (u0, v0) e y0 = q (u0, v0) resulta

Como já sabemos que

 

para concluir que o limite acima é zero basta mostrar que

 

é limitada numa bola aberta de centro (x 0, y0). É o que faremos a seguir. Inicialmente, observamos que a norma de um vetor coluna é igual à do vetor (α, β), isto é

 

Agora podemos continuar. Sabemos que

 

onde

 

De ⑥ segue que

Antes de continuar, faremos mais uma observação. A matriz M é inversível, pois é a matriz jacobiana

 

Segue que

 

é uma transformação linear, portanto contínua e que só se anula em . (Confira!)

Seja, agora, A o conjunto

A 2 2 2 = {( x, y ) ∈ ℝ | x + y = 1}.

A é compacto e a função φ: A → ℝ dada por

 

é contínua. Logo, φ assume valor mínimo em A, e este valor mínimo é diferente de zero. Assim, sendo k > 0 este valor mínimo, teremos para todo (x, y) ∈ A,

φ (x, y) ≥ k.

Por outro lado

para todo (x, y) ≠ (x0, y0). Para simplificar um pouco, façamos

 

Assim, para todo ( 2 2 x, y ) ≠ ( x , y ), o par ( s, t ) A = {( x, y ) | x + y = 1}. Temos, então, ∈

0 0

para todo (x, y) ≠ (x , y ), 0 0

 

De ⑤ e ⑦ segue que, para (x, y) ≠ (x , y ), 0 0

 

Tendo em vista ⑧, obtemos

 

Por outro lado, como

 

existe r1 > 0 tal que, para todo (x, y) ≠ (x0, y0),

 

Daí e da desigualdade anterior resulta, para todo (x, y) ≠ (x0, y0), com || (x, y) − (x0, y0) || < r1,