Um Curso de Cálculo, Volume 3
Apêndice 1 Teorema de Fubini
Apêndice
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TEOREMA DE FUBINI
A1.1. SOMAS SUPERIOR E INFERIOR
Seja o retângulo 2 A = {( x, y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} e seja f (x, y) definida e limitada em A. Seja
P = {(xi, yj) | i = 0, 1, 2, …, n e j = 0, 1, 2, …, m}
uma partição do retângulo A. Façamos
M = sup {f (x, y) | (x, y) A } ij ∈ ij
e
m = inf {f (x, y) | (x, y) ij∈ A } ij
onde A ij é o retângulo xi−1 ≤ x ≤ xi e yj−1 ≤ y ≤ yj.
O número
denomina-se soma superior de f relativa à partição P. Por outro lado,
denomina-se soma inferior de f relativa à partição P.
Tendo em vista que, para todo (r , s ) A , i j ∈ ij
m ij ≤ f (ri, sj) ≤ Mij
resulta
Como Mij é o supremo do conjunto dos números f (x, y), com (x, y) ∈ Aij, resulta que, para todo 1 > 0 dado, existe em Aij tal que
M ij − 1 < f .
Daí
Mij Δxj Δyj − f Δxi Δyj < 1 Δxi Δyj
para i = 1, 2, …, n e j = 1, 2, …, m. Portanto,
Nosso objetivo, a seguir, é provar que se f (x, y) for integrável no retângulo A, então
(Lembre-se de que Δ é o maior dos números Δx , Δx , …, Δx , Δy , Δy , …, Δy .) 1 2 n 1 2 m
De fato, sendo f (x, y) integrável no retângulo A, dado > 0 existe δ > 0 (com δ dependendo apenas de e não da escolha de (ri, sj) em Aij) tal que