7.2 Forma diferencial exata

EXEMPLO 1. é conservativo,

pois, tomando-se teremos

EXEMPLO 2. (x, y) = − y + x não é conservativo, pois rot (x, y) = 2 ≠ .

■

Exercícios 7.1

1. O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.

a) (x, y, z, w) = (x, y, z, w)

2. Seja f : ℝ → ℝ uma função contínua e seja o campo vetorial central

7.2. F ORMA DIFERENCIAL EXATA

Seja (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) definido no aberto Ω. Vimos que

é uma notação para indicar a integral de linha de sobre γ. Pois bem, no que segue referir-nos-emos à expressão

como uma forma diferencial definida no aberto Ω.

Dizemos que ① é uma forma diferencial exata se existir uma função diferenciável φ : Ω → ℝ tal que

Uma tal φ denomina-se primitiva de ①.

Seja 2 φ : Ω ⊂ ℝ → ℝ uma função diferenciável. Lembramos que a diferencial de φ, no ponto (x, y), é dada por

Deste modo, dizer que ① é uma forma diferencial exata é equivalente a dizer que existe um campo escalar diferenciável φ : Ω → ℝ tal que, em todo (x, y) ∈ Ω, a diferencial de φ é dada por

dφ = P (x, y) dx + Q (x, y) dy.

Observe que ① é uma forma diferencial exata se e somente se o campo vetorial (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) for conservativo. Segue, do que vimos na seção anterior, que se 1 P e Q forem de classe C no aberto Ω, então uma condição necessária para ① ser exata é que

Da mesma forma, se 1 3 P, Q e R forem de classe C no aberto Ω ⊂ ℝ, então uma condição necessária para

P (x, y, z) dx + Q (x, y, z) dy + R (x, y, z) dz

ser exata é que

EXEMPLO 1. 2 2 A forma diferencial 2 x dx + 2 y dy é exata, pois admite φ ( x , y ) = x + y

como primitiva:

dφ 2 2 = d ( x + y) = 2x dx + 2y dy.

■

EXEMPLO 2. A forma diferencial y dx + 2x dy não é exata, pois

Exercícios 7.2

1. Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique.

a) x dx + y dy + z dz

b 2 ) 2 xy dx + x dy

c) yz dx + xz dy + xy dz

d) (x + y) dx + (x − y) dy

e) (x + y) dx + (y − x) dy

f 2 2 + ) e (xdx + ydy

x y

g 2 ) xy dx + ydy + xyz dz