4.3 Massa e centro de massa

onde g (θ, ρ) = f (x, y), x = α + ρ cos θ e y =β + ρ sen θ.

8. Considere a função g(x, y) = onde f (u) é uma função de uma

variável real a valores reais, contínua em [a, b], 0 ≤ a < b, e tal que f (x) ≥ 0 para todo x em [a, b]. Seja B o conjunto

B 2 2 2 2 = {( x, y, z ) | a ≤ x + y ≤ b e 0 ≤ z ≤ g(x, y)}

a) Verifique que B é gerado pela rotação em torno do eixo z do conjunto

{(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, y = 0 e 0 ≤ z ≤ f (x)}

b) Utilizando coordenadas polares mostre que o volume de B é

 

c) Compare com a fórmula estabelecida na Seção 13.2 do Vol. 1, 5.ª edição.

 

4.3. MASSA E CENTRO DE MASSA

Seja 2 B ⊂ ℝ, B compacto e com fronteira de conteúdo nulo. Imaginemos B como uma chapa delgada. Por uma função densidade superficial de massa associada a B entendemos uma função δ : B → ℝ, contínua e positiva, tal que, para todo B1 ⊂ B,

 

desde que a integral exista. Assim, se δ (x, y) é uma função densidade superficial de massa associada a B, então

 

Se δ (x, y) for constante e igual a k, então a massa de B será igual ao produto de k pela área de B. Diremos, neste caso, que a chapa é homogênea; caso contrário, diremos que a chapa é não homogênea.

Seja B1 um retângulo contido em B; pelo teorema do valor médio, existe (s, t) ∈ B1 tal que

 

ou seja,

 

Assim, δ (s, t) é a densidade superficial média (massa por unidade de área) de B1. Seja, agora, (x , y ) um ponto qualquer de B e suponhamos que os lados de B sejam 1 1 1 1 suficientemente pequenos. Tendo em vista a continuidade de δ

 

Pela definição de integral, temos:

 

É comum referir-se a dm = δ (x, y) dx dy como elemento de massa. Escreveremos, então,

Vamos, agora, definir centro de massa de B. Tomemos, inicialmente, uma partição de B. Em cada retângulo Rij (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m) tomemos um ponto (si, tj). A massa de Rij

 

será aproximadamente δ (si, tj) Δxi Δyj (lembre-se de que devemos tomar δ (si, tj) = 0 se (s i, tj) não pertencer a B). Concentremos, agora, toda a massa de Rij no ponto (si, tj). O centro de massa do sistema obtido é, conforme aprendemos no Vol. 1, 5.ª edição, o ponto onde

 

e

 

O centro de massa de B é, por definição, o ponto (xc, yc) onde

 

EXEMPLO. Calcule a massa e o centro de massa de um semicírculo de raio r, sendo a densidade superficial no ponto P proporcional à distância do ponto ao centro do círculo.

Solução

O elemento de massa é

 

onde k é o coeficiente de proporcionalidade. A massa do semicírculo B é

 

Passando para coordenadas polares temos:

 

O centro de massa de B é o ponto (xc, yc) onde

 

e

Temos

 

 

Por outro lado,

 

O centro de massa de B é o ponto (x , y ) onde .

c c

■

Exercícios 4.3

1. Calcule o centro de massa.

a) δ (x, y) = y e B o quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. b 2 2 2 ) B = {( x , y ) ∈ ℝ | x + 4 y ≤ 1, y ≥ 0} e a densidade é proporcional à

distância do ponto ao eixo x.

c) B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1) e a densidade é

proporcional à distância do ponto à origem.

d 3 ) B é o conjunto de todos ( x , y ) tais que x ≤ y ≤ x e a densidade é constante e

igual a 1.

e) B é o conjunto de todos (x, y) tais que x ≤ y ≤ x + 1, 0 ≤ x ≤ 1, e a densidade

é o produto das coordenadas do ponto.

f 2 2 ) B é o conjunto de todos ( x , y ) tais que 1 ≤ x + y ≤ 4, y ≥ 0, e a densidade é

proporcional à distância do ponto à origem.

2. Seja B um compacto com fronteira de conteúdo nulo e com interior não vazio e

seja δ (x, y) contínua em B. Seja α ≠ 0 um real dado. Considere a mudança de coordenadas

B é o conjunto B olhado em relação ao sistema xy e B é o conjunto B olhado xy st em relação ao sistema st. Observe que B xy é a imagem de Bst pela mudança de coordenadas acima.

 

a) Verifique que

 

b) Seja (x , y ) o centro de massa de B no sistema xy e (s , t ) no sistema st. c c c c

Mostre que (x , y ) = s + t . Interprete. c c c c

3. Utilizando o teorema de Pappus (veja Vol. 1, 5.ª edição), calcule o volume do

sólido obtido pela rotação, em torno da reta dada, do conjunto B dado.

a 2 2 ) B é o círculo x + y ≤ 1 e y = x + 2 a reta. b 2 ) B é o conjunto de todos ( x , y ) tais que x ≤ y ≤ x e y = x − 1 a reta. c 2 2 2 ) B = {( x , y ) ∈ ℝ | x + 4 y ≤ 1} e x + y = 3 a reta.