Um Curso de Cálculo, Volume 3
A4.6 Um teorema de ponto fixo
|| F (x, y) − F (s, t) || > 0
ou seja,
F (x, y) ≠ F (s, t).
Fica provado assim o seguinte importante resultado.
A função
F (x, y) = (x, y) + R (x, y)
é injetora na bola aberta Ω1 de raio r e centro (0, 0).
Nosso objetivo a seguir é provar que F transforma o aberto Ω 1 num aberto Ω2. Ou seja, queremos provar que o conjunto
Ω = F Ω( ) 2 1
é aberto. Para este fim, vamos primeiro provar um teorema de ponto fixo.
A4.6. UM TEOREMA DE PONTO FIXO
Teorema. Seja A ⊂ ℝn um conjunto compacto e H : A → A uma função
satisfazendo a seguinte condição: quaisquer que sejam os pontos X ≠ Y em A tem-
se
|| H (X) − H (Y) || < || X − Y ||.
Nestas condições, existirá um único S ∈ A tal que
H (S) = S.
(Tal S denomina-se ponto fixo para H.)