1.4 Divergente

onde (x, y) = s + t . Interprete. (Observe que 1 (s, t) = (x, y) onde (x, y) = s + t .)

 

 

1.4. DIVERGENTE

Seja = (F , F , …, F ) um campo vetorial definido no aberto Ω ⊂ ℝn e 1 2 n

suponhamos que as componentes F1, F2, …, Fn admitem derivadas parciais em Ω. O campo escalar

div : Ω → ℝ

dado por

 

denomina-se divergente de .

A notação ∇. é frequentemente usada para indicar o divergente de ;

interpretamos ∇. como o “produto escalar” do vetor

pelo campo vetorial (F , F , …, F ), onde o “produto” de por F deve ser

1 2 n i

entendido como a derivada parcial

 

O símbolo ∇ φ já foi utilizado anteriormente (Vol. 2) para representar o gradiente do campo escalar φ : Ω ⊂ ℝn → ℝ:

Deste modo, o gradiente, divergente e rotacional podem ser representados simbolicamente pelos “produtos” ∇ φ, ∇ . e ∇ Λ , respectivamente.

Vamos destacar, a seguir, as expressões do divergente nos casos n = 2 e n = 3. Se

 

EXEMPLO 1. 2 2 2 Seja ( x , y , z ) = ( x + z ) − y + (2 x + 3 y + z) . Calcule div .

Solução

 

NÃO SE ESQUEÇA: div (x, y, z) é número.

EXEMPLO 2. 2 Calcule ∇ . ∇ φ , onde φ ( x , y ) = x y.

Solução

 

Assim,

∇ · ∇ φ = 2y div (∇ φ).

Consideremos o campo escalar n φ : Ω ⊂ ℝ → ℝ e suponhamos que φ admita derivadas parciais até a 2.ª ordem no aberto ⊂. O campo escalar

∇2 φ: Ω → ℝ

dado por

∇ 2 φ = ∇ · ∇ φ

denomina-se laplaciano de φ. Assim, o laplaciano de φ nada mais é do que o divergente do gradiente de φ. Como

 

resulta que o laplaciano de φ é dado por EXEMPLO 3. 2 2 2 Seja φ ( x, y, z ) = x + y + z. Calcule o laplaciano de φ.

Solução

 

EXEMPLO 4. 2 Seja ( x , y ) = Q ( x , y ) . Suponha que, para todo ( x , y ) ∈ ℝ,

 

a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas. b) Calcule div .

Solução

a) Segue da hipótese que, para cada x fixo, a função y ∞ Q (x, y) é estritamente crescente, isto é, Q (x, y) é estritamente crescente sobre cada reta paralela ao eixo y. Os campos dados a seguir satisfazem as condições dadas.

b) div

EXEMPLO 5. (Interpretação para o divergente.) Consideremos um fluido em escoamento bidimensional com campo de velocidade

 

onde 1 P e Q são supostas de classe C. Consideremos um retângulo de lados paralelos aos eixos e de comprimentos h e k suficientemente pequenos.

O fluido que no instante t encontra-se no retângulo ABCD, no instante t + Δt 0 0 encontrar-se-á no “paralelogramo curvilíneo” A B C D . Indiquemos por V (t + Δt) a 1 1 1 1 0 área ocupada pelo fluido que, no instante t 0, ocupa o retângulo ABCD. Temos V (t0) = hk. A seguir, vamos avaliar V (t 0 + Δt), para Δt suficientemente pequeno, onde V (t0 + Δt) é a área do “paralelogramo curvilíneo” A 1B1C1D1. Como estamos supondo h, k e Δt suficientemente pequenos, a área do “paralelogramo curvilíneo” A 1B1C1D1 é aproximadamente a área do paralelogramo determinado pelos vetores Temos:

 

(Observação. Daí para k

suficientemente pequeno

Temos, também:

 

 

Sabemos da geometria que a área do paralelogramo determinado pelos vetores

e é a norma do produto vetorial Λ . Temos

 

Assim,

Como V (t0) = hk, é razoável esperar que

 

 

ou seja,

 

e, portanto,

 

Podemos, então, interpretar div (x , y ) como uma taxa de variação de área por 0 0 unidade de tempo e unidade de área no ponto (x 0, y0).

Suponhamos h, k e Δt positivos e suficientemente pequenos. Se div (x , y ) > 0, 0 0 devemos esperar V (t + Δt) > V (t ), isto é, a área está aumentando. Se div (x , y ) < 0 0 0 0 0, devemos esperar V (t Δt) < V (t ), isto é, a área está diminuindo. (Veja Apêndice 3.) 0 0

■

EXEMPLO 6. Suponha que o campo (x, y) tenha o seguinte aspecto:

As velocidades das partículas que se encontram sobre o lado DC são iguais entre si e maiores que as velocidades daquelas que se encontram sobre o lado AB. As partículas que no instante t ocupam o retângulo ABCD, no instante t + Δt, com Δt > 0, deverão ocupar um retângulo de área maior. Devemos esperar então div (x, y) > 0.

■

EXEMPLO 7. (Equação da continuidade.) Considere um fluido em escoamento num aberto Ω do 3 ℝ, com velocidade (x, y, z, t) no ponto (x, y, z) e no instante t, com t num intervalo aberto I. Seja ρ (x, y, z, t) a densidade do fluido no ponto (x, y, z) e no instante 1 t . Suponha que as componentes, de e ρ sejam de classe C. Admita, ainda, que em Ω não haja fontes nem sorvedouros de massa. Mostre que é razoável esperar que e ρ satisfaçam a equação

 

onde o divergente deve ser calculado em relação às variáveis x, y, z. (Neste exemplo, a velocidade no ponto (x, y, z) depende do tempo. Sugerimos ao leitor dar exemplo de um escoamento em que a velocidade no ponto (x, y, z) esteja variando com o tempo.)

Solução

Consideremos o campo vetorial dado por

Imaginemos em Ω um retângulo paralelo ao plano xz, centrado no ponto (x, y, z), e de lados Δx e Δz. Observe que uma partícula que se encontra, no instante t, sobre o retângulo, no instante t + Δt encontrar-se-á, aproximadamente, a uma distância v 2 (x, y, z, t) Δt do retângulo (para fixar o raciocínio supomos v (x, y, z, t) > 0). Deste modo, o 2 volume de fluido que passa através do retângulo, no tempo Δt, é aproximadamente v2 (x, y, z, t) Δx Δz Δt e a massa que passa através do mesmo retângulo, no tempo Δt, será, então, aproximadamente

ρ v2 Δx Δz Δt = u2 Δx Δz Δt.

Observe que, sendo v (x, y, z, t) > 0, a massa flui da esquerda para a direita; se v 22 (x, y, z, t) < 0 então a massa estaria fluindo da direita para a esquerda.

Imaginemos, agora, em Ω, um paralelepípedo centrado no ponto (x, y, z), com arestas Δx, Δy e Δz, suficientemente pequenas, e de faces paralelas aos planos coordenados.

Estamos interessados em avaliar a diferença entre a massa de fluido que sai e a que penetra no paralelepípedo, na unidade de tempo. No ponto (x, y, z) e no instante t a componente do vetor , na direção , é u (x, y, z, t); no centro da face BCFE, a 2 componente, na direção , de , é aproximadamente e no centro da

face AHGD a componente, na direção , é aproximadamente

A massa que passa, por unidade de tempo, através da face BCFE é aproximadamente

 

e que passa através da face AHGD é aproximadamente

 

Assim

 

é uma avaliação para a diferença entre a massa que sai através da face BCFE e a que penetra através da face AHGD, por unidade de tempo.

Com um raciocínio análogo sobre as outras faces resulta que

 

é uma avaliação para a diferença entre a massa que sai e a que penetra no paralelepípedo, por unidade de tempo, no instante t.

Por outro lado, no ponto (x, y, z) e no instante t, a densidade está variando a uma taxa : se > 0 a massa dentro do paralelepípedo está aumentando a uma taxa

aproximada de Δx Δy Δz, por unidade de tempo; se < 0, a massa dentro do paralelepípedo está decrescendo a uma taxa de Δx Δy Δz, por unidade de tempo.

Como estamos supondo que em Ω não há fontes nem sorvedouros de massa, e tendo em vista o “princípio da conservação da massa” é razoável, então, esperar que

 

ou seja,

 

ou, ainda,

 

pois, = ρ . (A razão do sinal menos que ocorre em ③ é a seguinte: se div > 0 a massa dentro do paralelepípedo está diminuindo (a massa que sai é maior que a que penetra) e, neste caso, deveremos ter < 0 e, portanto, div = − . Mesma análise

para o caso div < 0.)

Se ρ não depende do tempo, a equação da continuidade se reduz a

div ρ = 0.

Neste caso, a massa que sai do paralelepípedo deve ser igual à que penetra.

Se ρ (x, y, z, t) for constante (neste caso, diremos que o fluido é incompressível) a equação da continuidade se reduz a

div = 0

quer dependa do tempo ou não. Neste caso, o volume do fluido que sai do paralelepípedo deve ser igual ao que penetra. (Veja Apêndice 3.)

CUIDADO. Em ④ o divergente deve ser calculado em relação às variáveis x, y e z, isto é:

Exercícios 1.4

1. Calcule o divergente do campo vetorial dado.

 

2. O que é mais razoável esperar: div = 0 ou div ≠ 0?

 

3. Considere um fluido em escoamento com velocidade (x, y, z) = y , y > 0.

a) O fluido é incompressível? Por quê? b) Determine ρ, que só dependa de y, que satisfaça a equação da continuidade. c) Suponha que a densidade ρ do fluido só dependa de y e de t. Mostre que ρ

deve satisfazer a equação

4. 3 Considere um escoamento no aberto Ω de ℝ, com velocidade (x, y, z), cujas

 

componentes são supostamente de classe 1 C em Ω. Suponha que derive de

um potencial (isto é, que existe φ: Ω → ℝ, com ∇φ = em Ω).

a) Prove que é irrotacional. b 2 ) Prove que se for incompressível, então ∇ φ = 0.

5. Calcule o laplaciano da função φ dada.

 

6. 2 2 Seja φ ( x , y ) = f ( x + y), onde f (u) é uma função real, de uma variável real e

derivável até a 2.ª ordem. Suponha que 2 ∇ φ = 0.

a) Mostre que u f" (u) = − f' (u), u > 0. b 2 ) Determine uma f não constante, para que se tenha ∇ φ = 0.

7. φ (x, y) é uma função cujo gradiente tem a representação geométrica abaixo:

O que é mais razoável: 2 2 ∇ φ = 0 ou ∇ φ ≠ 0?

8. 2 2 Seja = P + Q um campo vetorial de ℝ em ℝ, com P e Q

diferenciáveis. Sejam = cos α + sen α e = −sen α + cos α , onde α ≠ 0 é um real dado. Seja (s, t) as coordenadas de (x, y) no sistema (0, , ).

Assim, (x, y) = s + t . Observe que (x, y) = s + t é equivalente a x = s cos α − t sen α e y = s sen α + t cos α.

a) Mostre que

 

b) Seja

 

onde

P1 (s, t) = P (x, y) cos α + Q (x, y) sen α

e

Q 1 (s, t) = Q (x, y) cos α − P (x, y) sen α.

com x = s cos α − t sen α e y = s sen α + t cos α. Mostre que

 

Interprete.

9. 3 3 Sejam , : Ω ⊂ ℝ → ℝ dois campos vetoriais e φ: Ω → ℝ um campo

escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ, e e prove (suponha

 

10. 3 Seja = ( w , w , w ) um campo vetorial definido no aberto Ω de ℝ. Prove que

1 2 3

div = 0 é uma condição necessária para que exista um campo vetorial = ( 2 u , u , u ), com componentes de classe C, em Ω, tal que rot = .

1 2 3

11. 3 Sejam e dois campos vetoriais definidos no aberto Ω ⊂ ℝ, cujas

componentes admitem derivadas parciais em Ω. Prove que

 

12. (Divergente em coordenadas polares.) Seja Ω um aberto contido no semiplano

y > 0 e seja (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , (x, y) ∈ Ω, com P e Q de classe C1. Seja P (θ, ρ) = P (x, y) e Q (θ, ρ) = Q (x, y), com x = ρ cos θ e y = sen θ.

1 1

a) Mostre que