Um Curso de Cálculo, Volume 3
5.2 Conjunto de conteúdo nulo
f (x, y, z) dV, é, por definição, o limite de ① (caso exista) quando Δ tende a zero,
onde Δ é o maior dos números Δx j i , Δ y, Δzk, com i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m e k = 1, 2, …, p.
Tal limite deve ser entendido como o que ocorre na definição de integral dupla.
5.2. CONJUNTO DE CONTEÚDO NULO
Seja 3 D um subconjunto do ℝ. Dizemos que D tem conteúdo nulo se, para todo > 0 dado, existir um número finito de paralelepípedos A 1, A 2, …, An tais que
D ⊂ A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ An
e
onde m (A i) é o volume de Ai.
Grosso modo, dizer que D tem conteúdo nulo significa que D pode ser coberto por um número finito de paralelepípedos cuja soma dos volumes seja tão pequena quanto se queira.
Seja 2 K, K ⊂ ℝ, um conjunto compacto com fronteira de conteúdo nulo e seja f (x, y) uma função a valores reais contínua em K. Procedendo-se como no Exemplo da Seção 2.3, prova-se (a prova é deixada para o leitor) que o gráfico de f tem conteúdo nulo.
Pode ser provado, ainda, que se 2 3 1 φ : Ω ⊂ ℝ → ℝ , Ω aberto, for de classe C e se K for um subconjunto compacto de Ω, então φ (K) terá conteúdo nulo.
Seja D = D D 1 ∪ … 2 ∪ ∪ D , onde D (i = 1, 2, …, n) ou é o gráfico de uma n i função contínua 2 f : K ⊂ ℝ → ℝ, K compacto, ou a imagem φ (K) de um compacto K ⊂ Ω, onde 2 3 1 φ : Ω ⊂ ℝ → ℝ , Ω aberto, é de classe C. Tendo em vista que a reunião de um número finito de conjuntos de conteúdo nulo tem conteúdo nulo (verifique) resulta, do que vimos acima, que D terá conteúdo nulo.