6.5 Integral de linha relativa ao comprimento de arco

6.5. INTEGRAL DE LINHA RELATIVA AO COMPRIMENTO

 

DE ARCO

Seja 1 γ : [ a, b ] → ℝ uma curva de classe C e seja f uma função a valores reais, n

contínua, definida na imagem de γ. Definimos a integral de linha de f sobre γ, com relação ao comprimento de arco, por

 

Observação:

 

O comprimento Δs i i do arco de extremidades γ ( t − 1) e γ(ti) é:

 

para algum em [ti − 1, ti]. Temos:

Pode ser provado que

 

ou seja,

 

Observe que não é soma de Riemann da função f (γ(t)) || γ' (t)

||, pois, e podem não ser iguais. Observe, ainda, que ds = ||γ' (t) || dt é a diferencial

da função comprimento de arco

EXEMPLO 1. 2 2 Calcule ( x + 2 y) ds, onde γ é dada por x = cos t, y = sen t, com 0 ≤

t ≤ 2π.

Solução

 

A integral de linha, relativa a comprimento de arco, pode ser aplicada no cálculo da massa de um fio delgado cuja densidade linear (massa por unidade de comprimento) seja conhecida. Um fio delgado no espaço pode ser olhado como a imagem de uma curva 3 γ : [ a, b ] → ℝ; a massa M do fio é, então,

 

onde δ (x, y, z) é a densidade linear no ponto (x, y, z).

■

EXEMPLO 2. Calcule a massa do fio γ (t) = (t, t, t), 0 ≤ t ≤ 2, sendo δ (x, y, z) = xyz a densidade linear.

Solução

 

Portanto, a massa do fio é 4 unidades de massa.

Considere um fio delgado 3 γ : [ a, b ] → ℝ, com densidade linear δ (x, y, z). O momento de inércia do fio em relação a um eixo fixo dado é

 

onde r = r (x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) ao eixo.

■

EXEMPLO 3. Calcule o momento de inércia de um fio homogêneo com a forma de uma circunferência 2 2 2 x + y = R (R > 0), em relação ao eixo Oz.

Solução

Tomemos γ (t) = (R cos t, R sen t, 0), 0 ≤ t ≤ 2π. Temos:

 

Como 2π 2 kR é a massa M do fio, resulta que o momento de inércia é I = MR.

■

EXEMPLO 4. 3 3 Seja : Ω ⊂ ℝ → ℝ um campo vetorial contínuo e seja γ : [a, b] → Ω uma curva de classe 1 C tal que, para todo t em [a, b], || γ'(t) || ≠ 0. Suponha, ainda, que γ(t 1) ≠ γ(t2) sempre que t1 ≠ t2. Verifique que

 

onde F (γ (t)) = o versor de γ' (t); F (γ(t)) é a

T T

componente tangencial de no ponto γ (t). (Observe que F é uma função definida na T imagem de γ e que, a cada X ∈ Im γ, associa o número

Solução

 

Assim,

 

ou seja,

 

Observação. 3 3 Se olharmos : Ω ⊂ ℝ → ℝ como um campo de forças em Ω e se supusermos que γ descreve o movimento de uma partícula em Ω, então

é o trabalho realizado por no deslocamento da partícula de γ (a) até γ (b).

 

 

Exercícios 6.5

1. Calcule

a) 2 2 ( x + y) ds, onde γ (t) = (t, t), −1 ≤ t ≤ 1

b) 2 (2 xy + y) ds, onde γ (t) = (t + 1, t − 1), 0 ≤ t ≤ 1

c) xyz ds, onde γ (t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π

2. Calcule a massa do fio γ(t) = (t, 2t, 3t), 0 ≤ t ≤ 1, cuja densidade linear é δ (x,

y, z) = x + y + z.

3. Calcule a massa do fio γ(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ π, com densidade linear δ

( 2 2 2 x, y, z ) = x + y + z.

4. Calcule o momento de inércia de um fio homogêneo com a forma de uma

circunferência de raio R, em torno de um diâmetro.

5. Calcule o momento de inércia do fio γ (t) = (t, 2t, 3t), 0 ≤ t ≤ 1, com densidade

linear δ (x, y, z) = x + y + z, em torno do eixo Oz.

6. Calcule o momento de inércia de um fio retilíneo, homogêneo, de comprimento

L, em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio.

7. Calcule o momento de inércia do fio homogêneo γ (t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤

, em tormo do eixo Ox.

8. 3 O centro de massa de um fio γ : [ a, b ] → ℝ é o ponto (x , y , z ) dado por:

c c c

 

onde dm = δ (x, y, z) ds é o elemento de massa. Calcule o centro de massa do fio homogêneo dado.

a) γ (t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤

b 2 ) γ ( t ) = ( t, t, 0) −1 ≤ t ≤ 1

9. Calcule o centro de massa do fio γ (t) = (t, t, t), 0 ≤ t ≤ 1, com densidade linear

δ (x, y, z) = xyz.

10. 2 1 Seja γ ℝ : [ a, b ] → uma curva de classe C e seja f (x, y) um campo escalar

1

contínuo na imagem de 2 γ . Seja γ : [ a, b ] → ℝ dada por

1 2

 

Prove que

 

Interprete o resultado. Dê exemplos de curvas satisfazendo ①. Compare com os resultados obtidos na Seção 6.3.