A4.8 Teorema da função inversa

definida no aberto Ω. Como 1 f e g são de classe C e φ (x , y ) ≠ 0 segue do teorema da

 

0 0

conservação do sinal que…)

Segue, então, de A4.2 que G (x, y) é diferenciável em todo (x, y) ∈ Ω . 1

Por outro lado, da relação

JG −1 ( u, v ) = ( JF ( x, y ))

onde ( 1 x, y ) = G ( u, v ), e pelo fato de F ser de classe C e G contínua, resulta que G é de classe 1 C em Ω . (Confira.)

2

A4.8. TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA

Do que vimos nas seções anteriores vem o seguinte importante teorema.

 

Teorema da função inversa. Seja

F : Ω ⊂ ℝn → ℝn

com aberto e 1 F de classe C. Seja X ∈ Ω e seja Y = F (X ). Nestas condições, se

0 0 0

o determinante jacobiano de F, em X0, for diferente de zero então existirá um

aberto Ω 1 ⊂ Ω, com X0 ∈ Ω1, tal que Ω2 = F (Ω1) será aberto, a restrição de F a

Ω 1 será inversível e a inversa G será de classe C em Ω .

1 2

 

O que fizemos nas seções anteriores foi provar o teorema da função inversa para n = 2. Na verdade, nada teria mudado se tivéssemos trabalhado com n ≥ 3.

A4.9. TEOREMA DA FUNÇÃO IMPLÍCITA

Nesta seção, veremos como obter o teorema da função implícita em alguns casos particulares e deixaremos para o leitor enunciar e demonstrar tal teorema no caso geral.

1.º CASO. 1 2 Suponha g ( x, y ) de classe C num aberto Ω ⊂ ℝ, com (x , y ) ∈ Ω, tal que

0 0

 

Nestas condições, existe um aberto Ω x 1 ⊂ Ω, com ( , y ) Ω , e uma única função y 0 0 ∈ = 1 h 1 ( x ) definidas e de classe C num intervalo aberto I, x ∈ I, tal que, para todo x ∈ I,

0

(x, h (x)) ∈ Ω1, e

g (x, h (x)) = 0.

Demonstração

Consideremos o sistema

 

Em (x 0, y0), o determinante jacobiano

 

é diferente de zero, pois, em (x , y ) seu valor é que, por hipótese, é

0 0

diferente de zero. Seja

(u 0, v0) = (f (x0, y0), g (x0, y0)).

Como f (x, y) = x e g (x , y ) = 0, resulta (u , v ) = (x , 0). 0 0 0 0 0

Pelo teorema da função inversa, existem abertos Ω1 e Ω2, com

(x , y ) Ω Ω e (u , v Ω 0 0 ∈ 1 ⊂ ) , 0 0 ∈ 2

e um único par de funções (p (u, v), q (u, v)) tais que, para todo (x, y) ∈ Ω 1 e (u, v) ∈ Ω2,

 

Como Ω é aberto e (x , 0) = (u , v ) Ω , existe um intervalo aberto I, x I tal que, 2 0 0 0 ∈ 2 0 ∈

para todo u ∈ I, (u, 0) ∈ Ω . 2

Segue de ① que, para todo u ∈ I,

 

Fazendo h (x) = q (x, 0), resulta que, para todo x ∈ I,

0 = g (x, h (x)).

Assim, a função 1 y = h ( x ) é de classe C e é dada implicitamente pela equação

g (x, y) = 0.

Observe que, para todo u ∈ I,

(u, q (u, 0)) ∈ Ω 1

logo, para todo x ∈ I,

(x, h (x)) ∈ Ω . 1

Suponhamos, agora, que 1 y = h ( x ) seja outra função definida e de classe C no

1

intervalo aberto I e tal que, para todo x ∈ I,

(x, h1 (x)) ∈ Ω1 e 0 = g (x, h1 (x)).

De ① segue que, para todo x ∈ I,

ou seja, h1 (x) = q (x, 0) = h (x).

 

■

Observação. Para outra demonstração deste caso, veja Vol. 2.

2.º CASO. 1 3 Suponha g ( x, y, z ) de classe C num aberto Ω ⊂ ℝ, com (x , y z ) Ω, tal ∈

0 0 0

que

 

Nestas condições, existe um aberto Ω 1 ⊂ Ω, com (x0, y0, z0) ∈ Ω1, e uma única função z 1 2 = h ( x, y ) definida e de classe C numa bola aberta B do ℝ e de centro (x , y ), tal

0 0

que, para todo (x, y) ∈ B, (x, y, h (x, y)) ∈ Ω 1, e

g (x, y, h (x, y)) = 0.

Demonstração

Consideremos o sistema

 

Em (x 0, y0, z0), o determinante jacobiano

 

. Seja

(u0, v0, w0) = (x0, y0, g (x0, y0, z0)).

Assim (u 0, v0, w0) = (x0, y0, 0). Pelo teorema da função inversa, existem abertos Ω1 e Ω2, com

(x0, y0, z0) ∈ Ω1 e (u0, v0, w0) ∈ Ω2

e uma única terna de funções

(p (u, v, w), q (u, v, w), r (u, v, w))

de classe 1 C em Ω e tais que, para todo (x, y, z) ∈ Ω e (u, v, w) ∈ Ω ,

2 1 2

 

Como Ω 2 é aberto e ( x , y , 0) = ( u , v , w ) Ω , existe uma bola aberta B em ℝ, de ∈

2 0 0 0 0 0 2

centro (x , y ), tal que, para todo (u, v) 0 0 ∈ B, (u, v, 0) ∈ Ω . Segue de ② que, para todo 2 (u, v) ∈ B,

 

Fazendo h (x, y) = r (x, y, 0), resulta, para todo (x, y) ∈ B,

0 = g (x, y, h (x, y)).

Assim, a função 1 z = h ( x, y ) é de classe C e é dada implicitamente pela equação

g (x, y, z) = 0.

Observe que, para todo (u, v) ∈ B,

(u, v, r (u, v, 0)) ∈ Ω1 logo, para todo (x, y) ∈ B,

(x, y, h (x, y)) ∈ Ω 1.

Suponhamos, agora, que 1 z = h ( x, y ) seja outra função definida e de classe C na bola

1

aberta B e tal que, para todo (x, y) ∈ B,

(x, y, h (x, y)) Ω (x, y, h 1 ∈ e 0 = g (x, y)). 1 1

De ② segue que, para todo (x, y) ∈ B,

 

ou seja, h1 (x, y) = r (x, y, 0) = h (x, y).

■

3.º CASO. 1 3 Suponha f ( x, y, z ) e g ( x, y, z ) de classe C num aberto Ω ⊂ ℝ, com (x , y ,

0 0

z0) ∈ Ω1, tais que

f (x0, y0, z0) = 0, g (x0, y0, z0) = 0

e

 

Nestas condições, existe um aberto Ω1 ⊂ Ω, com (x0, y0, z0) ∈ Ω1, e um único par de funções 1 y = h ( x ) e z = k ( x ) definida e de classe C num intervalo aberto I, x ∈ I, tal

0

que, para todo x ∈ I,

(x, h (x), k (x)) ∈ Ω 1

e

f (x, h (x), k (x)) = 0 e g (x, h (x), k (x)) 0.

Demonstração

Consideremos o sistema

 

Em (x 0, y0, z0), o determinante jacobiano

 

é diferente de zero. Seja

(u , v , w ) = (x , f (x , y , z ), g (x , y , z )). 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Da hipótese, resulta

(u0, v0, w0) = (x0, 0, 0).

Pelo teorema da função inversa, existem abertos Ω 1 e Ω2, com

(x , y , z ) Ω e (u v , w ) 0 0 0 ∈ , 1 0 0 0∈ Ω2

e uma única terna de funções

(p (u, v, w), q (u, v, w), r (u, v, w))

de classe 1 C em Ω , tais que, para todo (x, y, z) ∈ Ω e (u, v, w) ∈ Ω ,

2 1 2

Como Ω2 é aberto e (x0, 0, 0) = (u0, v0, w0) ∈ Ω2, existe um intervalo aberto I, x0 = I, tal que, para todo u ∈ I, (u, 0, 0) ∈ Ω2. Segue de ③ que, para todo u ∈ I,

 

 

onde h (u) = q (u, 0, 0) e k (u) = r (u, 0, 0). As funções h (x) = q (x, 0, 0) e k (x) = r (x, 0, 0) são de classe 1 C no intervalo aberto I e, para todo x neste intervalo,

f (x, h (x), k (x)) = 0 e g (x, h (x), k (x)) = 0.

Fica a seu cargo concluir a unicidade de tais funções.

■

Para encerrar, fica a seu cargo a tarefa de enunciar e demonstrar o teorema da função implícita no caso geral.

 

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