Um Curso de Cálculo, Volume 3
A1.2 Teorema de Fubini
para toda partição P de A , com Δ < δ.
Tendo em vista ①, para toda partição P de A, tem-se
para uma conveniente escolha de (r , s ) em A . Segue de ② e ③ que, para toda partição i j ij P de A, com Δ < δ,
Portanto,
Da mesma forma, prova-se que
A1.2. TEOREMA DE FUBINI
Teorema de Fubini. Se f (x, y) for integrável no retângulo
A = {(x, y) ∈ 2 ℝ
| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} e se, para todo
existir (como integral de Riemann), então
Demonstração
Sejam
P1 : a = x0 < x1 < x2 < … < xi−1 < … < xn = b
uma partição de [a, b] e
P : c = y < y < y < … < yj < y < … < y = d 2 0 1 2 −1 j m
uma partição de [c, d]. Sejam
M ij = sup {f (x, y) | xi j −1 ≤ x ≤ x i e y−1 ≤ y ≤ yj}
e
m = inf {f (x, y) | xi ≤ x ≤ x e yj ≤ y ≤ y }. ij −1 i −1 j
Para todo (x, y) no retângulo A ij, dado por xi−1 ≤ x ≤ xi e yj−1 ≤ y ≤ yj,
m ij ≤ f (x, y) ≤ Mij.
Daí, para todo y ∈ [yj −1, yj],
Segue que
ou seja,
para todo y ∈ [yj , y ], onde . Tomando-se j em [yj , y ], j = 1, 2,
−1 j −1 j
…, m, vem
Daí
Para Δ → 0, as somas superior e inferior tendem para ∫∫A f (x, y) dx dy; logo, α (y) é integrável em [c, d] e
ou seja,
No próximo apêndice provaremos que se f (x, y) for contínua no retângulo A, então f será integrável neste retângulo. Utilizando este resultado e o teorema de Fubini, vamos dar uma demonstração bastante simples para o teorema de Schwarz (ver Vol. 2).
Vamos provar que se 2 f ( x, y ) for de classe C no aberto Ω, então
Suponhamos, por absurdo, que exista (x0, y0) ∈ Ω, com
Para fixar o raciocínio, podemos supor
Pela hipótese, é contínua em Ω. Pelo teorema da conservação do sinal
e pelo fato de Ω ser aberto, existe um retângulo 2 A = {( x, y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} contido em Ω e contendo (x0, y0) tal que, para todo (x, y) ∈ A,
Daí,
Pelo teorema de Fubini,
Portanto,
De modo análogo,
e, portanto,
Logo,
que está em contradição com ①.